Changes between Version 4 and Version 5 of Normalization

Timestamp:

09/24/26 20:05:14 (4 days ago)

Author:

233149

Comment:

--

Normalization

@@ -9 +9 @@
 created_at), атрибутите се преименувани така што во R нема две исти имиња:
 
- * id → user_id, high_school_id, contact_id, major_id, semester_id, subject_id, enrolled_id, sem_subject_id, passed_id, document_id, token_id, payment_id
- * name → user_name, major_name, subject_name
- * type → hs_type, semester_type, document_type
- * created_at → user_created_at, enrolled_created_at
- * number → phone_number, index → index_no, body → document_body, cost → document_cost, token → token_value, quota → quota (на корисник) и enrolled_quota (на запишан семестар)
- * улогите на professor се разликуваат: professor_id (професор на конкретен запишан предмет) и teaching_prof_id (професор во распоредот по семестар)
- * dependency_id → prerequisite_id (предметот кој е предуслов)
+|| '''Изворно име''' || '''Добива име во R''' ||
+|| id || user_id, high_school_id, contact_id, major_id, semester_id, subject_id, enrolled_id, sem_subject_id, passed_id, document_id, token_id, payment_id ||
+|| name || user_name, major_name, subject_name ||
+|| type || hs_type, semester_type, document_type ||
+|| created_at || user_created_at, enrolled_created_at ||
+|| number || phone_number ||
+|| index || index_no ||
+|| body || document_body ||
+|| cost || document_cost ||
+|| token || token_value ||
+|| quota || quota (на корисник) и enrolled_quota (на запишан семестар) ||
+|| professor || professor_id (професор на конкретен запишан предмет) и teaching_prof_id (професор во распоредот по семестар) ||
+|| dependency_id || prerequisite_id (предметот кој е предуслов) ||
+
+'''Забелешка:''' табелата погоре е само преименување на атрибути заради избегнување
+двосмисленост во имињата, а '''не''' множество функционални зависности. Затоа
+тука намерно не е користена стрелката →, која во останатиот дел од страната секогаш
+значи функционална зависност.
 
 '''R''' = { user_id, user_name, embg, surname, index_no, bday, email, password,
@@ -119 +130 @@
 sem_subject_id и passed_id се во однос 1:1 и секој од нив води до subject_id.
 
+=== Проверка на затворачот на секој кандидат клуч
+
+За секое CK''i'' се пресметува затворачот CK''i''^+^ и се проверува дали
+CK''i''^+^ = R, односно дали ги покрива сите 57 атрибути. Се користи стандардниот
+алгоритам: се тргнува од самото множество и се применува FD чија лева страна е
+веќе содржана, сè додека има промена.
+
+Заедничкиот дел за сите пет клучеви е K^+^, кој беше пресметан погоре и содржи 45
+атрибути. Затоа за секој CK''i'' се прикажува само што се додава над K^+^,
+односно дали се добиваат сите 12 атрибути кои недостасуваат во K^+^.
+
+'''CK1^+^ = (K ∪ { subject_id })^+^'''
+
+ 1. Почетно: K ∪ { subject_id }
+ 2. Сите чекори од пресметката на K^+^ важат и тука ⇒ вкупно 45 атрибути + subject_id = 46
+ 3. FD10: subject_id → subject_name, subject_code, awarded_credits, dependency_credit ⇒ вкупно 50
+ 4. FD16: (enrolled_id, subject_id) → sem_subject_id ''(enrolled_id е добиен преку FD21)'' ⇒ вкупно 51
+ 5. FD15: sem_subject_id → professor_id, signature ⇒ вкупно 53
+ 6. FD18: sem_subject_id → passed_id, grade, date_passed ⇒ вкупно 56
+ 7. FD22: (major_id, subject_id) → mandatory_semester ''(major_id е добиен преку FD13)'' ⇒ вкупно 57
+
+ '''CK1^+^ = R (57/57)''' ⇒ CK1 е суперклуч.
+
+'''CK2^+^ = (K ∪ { sem_subject_id })^+^'''
+
+ 1. Почетно: K ∪ { sem_subject_id }, плус чекорите на K^+^ ⇒ вкупно 46
+ 2. FD15: sem_subject_id → enrolled_id, subject_id, professor_id, signature ⇒ вкупно 48 ''(enrolled_id веќе е во K^+^)''
+ 3. FD10: subject_id → subject_name, subject_code, awarded_credits, dependency_credit ⇒ вкупно 52
+ 4. FD18: sem_subject_id → passed_id, grade, date_passed ⇒ вкупно 55
+ 5. FD22: (major_id, subject_id) → mandatory_semester ⇒ вкупно 56
+ 6. Останува уште sem_subject_id самиот, кој е во почетното множество ⇒ вкупно 57
+
+ '''CK2^+^ = R (57/57)''' ⇒ CK2 е суперклуч.
+
+'''CK3^+^ = (K ∪ { passed_id })^+^'''
+
+ 1. Почетно: K ∪ { passed_id }, плус чекорите на K^+^ ⇒ вкупно 46
+ 2. FD17: passed_id → sem_subject_id, grade, date_passed ⇒ вкупно 49
+ 3. FD15: sem_subject_id → enrolled_id, subject_id, professor_id, signature ⇒ вкупно 52
+ 4. FD10: subject_id → subject_name, subject_code, awarded_credits, dependency_credit ⇒ вкупно 56
+ 5. FD22: (major_id, subject_id) → mandatory_semester ⇒ вкупно 57
+
+ '''CK3^+^ = R (57/57)''' ⇒ CK3 е суперклуч.
+
+'''CK4^+^ = (K ∪ { subject_code })^+^'''
+
+ 1. Почетно: K ∪ { subject_code }, плус чекорите на K^+^ ⇒ вкупно 46
+ 2. FD12: subject_code → subject_id ⇒ вкупно 47
+ 3. Од чекор 3 натаму пресметката е идентична со CK1 ⇒ вкупно 57
+
+ '''CK4^+^ = R (57/57)''' ⇒ CK4 е суперклуч.
+
+'''CK5^+^ = (K ∪ { subject_name })^+^'''
+
+ 1. Почетно: K ∪ { subject_name }, плус чекорите на K^+^ ⇒ вкупно 46
+ 2. FD11: subject_name → subject_id ⇒ вкупно 47
+ 3. Од чекор 3 натаму пресметката е идентична со CK1 ⇒ вкупно 57
+
+ '''CK5^+^ = R (57/57)''' ⇒ CK5 е суперклуч.
+
+=== Проверка на минималноста
+
+Суперклучот е кандидат клуч само ако ниту едно негово вистинско подмножество не е
+суперклуч. За секој CK''i'' = K ∪ { X } се проверуваат двата случаја:
+
+ * '''Отстранување на X''': останува K, а веќе е покажано дека K^+^ има 45 < 57 атрибути. Значи K не е суперклуч и X е неопходен.
+ * '''Отстранување на било кој атрибут од K''': петте атрибути document_id, token_id, payment_id, prerequisite_id и teaching_prof_id се појавуваат '''само на лева страна''' во сите FD1-FD25. Атрибут кој никогаш не стои десно не може да се изведе од ниту една зависност, па мора да припаѓа на секој суперклуч. Значи ниту еден од нив не смее да се отстрани.
+
+Според тоа сите пет множества се '''минимални суперклучеви''', односно кандидат клучеви.
+
+=== Проверка дека нема други кандидат клучеви
+
+Секој кандидат клуч мора да го содржи K (петте само-лево атрибути) и не смее да
+содржи ниту еден од 38-те само-десно атрибути. Останува да се провери само кои од
+14-те двострани атрибути можат да го дополнат K.
+
+Девет од нив '''веќе се содржани во K^+^''': contact_id, email, enrolled_id,
+high_school_id, major_id, semester_id, semester_type, user_id, year. Ако
+атрибутот A е во K^+^, тогаш (K ∪ {A})^+^ = K^+^, што има 45 атрибути, па таквото
+множество не е суперклуч.
+
+Преостануваат точно петте кои не се во K^+^ и водат до предметот: subject_id,
+sem_subject_id, passed_id, subject_code, subject_name - тоа се CK1-CK5. Секое
+множество со два или повеќе додадени атрибути го содржи некој од нив, па не е
+минимално.
+
+Заклучок: релацијата R има '''точно 5 кандидат клучеви''', сите со големина 6.
+
 '''Избран примарен клуч:'''
 
@@ -135 +234 @@
 зависат од дел од примарниот клуч, а не од целиот. На пример document_id →
 document_type, каде document_id е само еден дел од PK.
+
+== Критериум за спојување без загуба
+
+Секоја декомпозиција подолу дели една релација R''i'' на точно две релации, A и B.
+За секоја од нив експлицитно се наведува:
+
+ 1. '''по кои атрибути се спојуваат''', односно пресекот A ∩ B;
+ 2. '''на која од двете релации тој пресек е (супер)клуч'''.
+
+Користен е критериумот на Хит (''Heath''): декомпозицијата на R''i'' на A и B е
+без загуба ако и само ако важи
+
+ (A ∩ B) → A   '''или'''   (A ∩ B) → B
+
+односно ако заедничките атрибути се суперклуч на барем едната од двете релации.
+Тогаш A ⋈ B = R''i'', при што спојувањето е природно спојување по '''целиот'''
+пресек A ∩ B, а не по произволен атрибут.
+
+Кај 4НФ функционалната зависност не е доволна, па таму се користи проширениот
+критериум: декомпозицијата е без загуба ако важи повеќевредносната зависност
+(A ∩ B) ↠ A, односно (A ∩ B) ↠ B.
+
+Во целата постапка секој чекор ја дели тековната релација R''i'' на новоиздвоената
+релација и остатокот R''i+1'', па конечната шема се реконструира со редоследно
+спојување наназад:
+
+ R = R1 ⋈ Documents = R2 ⋈ Token ⋈ Documents = … = R13 ⋈ (сите издвоени релации)
 
 == 1НФ декомпозиција
@@ -163 +289 @@
 
  * Клуч: document_id
- * ''Lossless join'': спојувањето по document_id ја реконструира R, бидејќи document_id е клуч на Documents.
+ * ''Lossless join'': '''R = Documents ⋈ R1''', спојување по '''Documents ∩ R1 = { document_id }'''. Тој пресек е клуч на '''Documents''' (FD19: document_id → сите останати атрибути на Documents), па важи (A ∩ B) → A и декомпозицијата е без загуба.
  * ''Dependency preservation'': FD19 е сочувана во Documents.
 
@@ -173 +299 @@
 
  * Клуч: token_id
- * ''Lossless join'': спојување по token_id; token_id е клуч на Token.
+ * ''Lossless join'': '''R1 = Token ⋈ R2''', спојување по '''Token ∩ R2 = { token_id, user_id }''' (и двата атрибути остануваат во R2). Тој пресек е суперклуч на '''Token''', бидејќи веќе token_id сам по FD20 ги определува сите атрибути на Token. Значи (A ∩ B) → A, па спојувањето е без загуба.
  * ''Dependency preservation'': FD20 е сочувана во Token.
 
@@ -183 +309 @@
 
  * Клуч: payment_id
- * ''Lossless join'': спојување по payment_id.
+ * ''Lossless join'': '''R2 = Payment ⋈ R3''', спојување по '''Payment ∩ R3 = { payment_id, enrolled_id }'''. Тој пресек е суперклуч на '''Payment''', бидејќи payment_id → enrolled_id, amount (FD21). Значи (A ∩ B) → A, па спојувањето е без загуба.
  * ''Dependency preservation'': FD21 е сочувана во Payment.
  * '''Забелешка:''' атрибутот user_id намерно '''не''' е дел од Payment. Види ја дискусијата за БКНФ подолу.
@@ -194 +320 @@
 
  * Клучеви: subject_id (примарен), subject_name, subject_code (алтернативни, поради FD11 и FD12)
- * ''Lossless join'': спојување по subject_id.
+ * ''Lossless join'': '''R3 = Subjects ⋈ R4''', спојување по '''Subjects ∩ R4 = { subject_id }'''. Тој пресек е клуч на '''Subjects''' (FD10), па важи (A ∩ B) → A и спојувањето е без загуба.
  * ''Dependency preservation'': FD10, FD11 и FD12 се сочувани во Subjects.
 
@@ -221 +347 @@
  * Клучеви: user_id (примарен), email (алтернативен, поради FD2)
  * Транзитивна зависност: token_id → user_id → останатите атрибути на корисникот
- * ''Lossless join'': спојување по user_id.
+ * ''Lossless join'': '''R4 = Users ⋈ R5''', спојување по '''Users ∩ R5 = { user_id }''' (email се отстранува од R5, па не е дел од пресекот). Тој пресек е клуч на '''Users''' (FD1), па важи (A ∩ B) → A и спојувањето е без загуба.
  * ''Dependency preservation'': FD1 и FD2 се сочувани во Users.
 
@@ -231 +357 @@
 
  * Клучеви: high_school_id (примарен), user_id (алтернативен, поради FD3 - врската е 1:1)
- * ''Lossless join'': спојување по high_school_id.
+ * ''Lossless join'': '''R5 = !HighSchool ⋈ R6''', спојување по '''!HighSchool ∩ R6 = { high_school_id, user_id }'''. Тој пресек е суперклуч на '''!HighSchool''' - секој од двата атрибути посебно е клуч (FD4, односно FD3 бидејќи врската е 1:1). Значи (A ∩ B) → A и спојувањето е без загуба.
  * ''Dependency preservation'': FD3 и FD4 се сочувани во !HighSchool.
 
@@ -241 +367 @@
 
  * Клучеви: contact_id (примарен), user_id (алтернативен, поради FD5)
- * ''Lossless join'': спојување по contact_id.
+ * ''Lossless join'': '''R6 = Contact ⋈ R7''', спојување по '''Contact ∩ R7 = { contact_id, user_id }'''. Тој пресек е суперклуч на '''Contact''' - contact_id е клуч по FD6, а user_id по FD5, бидејќи врската е 1:1. Значи (A ∩ B) → A и спојувањето е без загуба.
  * ''Dependency preservation'': FD5 и FD6 се сочувани во Contact.
 
@@ -252 +378 @@
  * Клучеви: enrolled_id (примарен), (user_id, semester_id) (алтернативен, поради FD14)
  * Транзитивна зависност: payment_id → enrolled_id → атрибутите на запишувањето
- * ''Lossless join'': спојување по enrolled_id.
+ * ''Lossless join'': '''R7 = !EnrolledSemesters ⋈ R8''', спојување по '''!EnrolledSemesters ∩ R8 = { enrolled_id, user_id, major_id, semester_id }'''. Тој пресек е суперклуч на '''!EnrolledSemesters''', бидејќи веќе enrolled_id сам по FD13 ги определува сите нејзини атрибути. Значи (A ∩ B) → A и спојувањето е без загуба.
  * ''Dependency preservation'': FD13 и FD14 се сочувани во !EnrolledSemesters.
 
@@ -263 +389 @@
  * Клуч: major_id
  * Транзитивна зависност: enrolled_id → major_id → major_name
- * ''Lossless join'': спојување по major_id.
+ * ''Lossless join'': '''R8 = Major ⋈ R9''', спојување по '''Major ∩ R9 = { major_id }'''. Тој пресек е клуч на '''Major''' (FD7), па важи (A ∩ B) → A и спојувањето е без загуба.
  * ''Dependency preservation'': FD7 е сочувана во Major.
 
@@ -274 +400 @@
  * Клучеви: semester_id (примарен), (year, semester_type) (алтернативен, поради FD9)
  * Транзитивна зависност: enrolled_id → semester_id → year, semester_type
- * ''Lossless join'': спојување по semester_id.
+ * ''Lossless join'': '''R9 = !ActiveSemesters ⋈ R10''', спојување по '''!ActiveSemesters ∩ R10 = { semester_id }''' (year и semester_type се отстрануваат од R10). Тој пресек е клуч на '''!ActiveSemesters''' (FD8), па важи (A ∩ B) → A и спојувањето е без загуба.
  * ''Dependency preservation'': FD8 и FD9 се сочувани во !ActiveSemesters.
 
@@ -284 +410 @@
 
  * Клучеви: sem_subject_id (примарен), (enrolled_id, subject_id) (алтернативен, поради FD16)
- * ''Lossless join'': спојување по sem_subject_id.
+ * ''Lossless join'': '''R10 = !SemestersSubjects ⋈ R11''', спојување по '''!SemestersSubjects ∩ R11 = { sem_subject_id, enrolled_id, subject_id }'''. Тој пресек е суперклуч на '''!SemestersSubjects''', бидејќи веќе sem_subject_id сам по FD15 ги определува professor_id и signature. Значи (A ∩ B) → A и спојувањето е без загуба.
  * ''Dependency preservation'': FD15 и FD16 се сочувани во !SemestersSubjects.
 
@@ -294 +420 @@
 
  * Клучеви: passed_id (примарен), sem_subject_id (алтернативен, поради FD18 - врската е 1:1)
- * ''Lossless join'': спојување по passed_id.
+ * ''Lossless join'': '''R11 = !PassedSubjects ⋈ R12''', спојување по '''!PassedSubjects ∩ R12 = { passed_id, sem_subject_id }'''. Тој пресек е суперклуч на '''!PassedSubjects''' - passed_id е клуч по FD17, а sem_subject_id по FD18, бидејќи врската е 1:1. Значи (A ∩ B) → A и спојувањето е без загуба.
  * ''Dependency preservation'': FD17 и FD18 се сочувани во !PassedSubjects.
 
@@ -305 +431 @@
  * Клуч: (major_id, subject_id)
  * Зависноста FD22 има сложена лева страна која не е клуч на R12, што ја нарушува 3НФ.
- * ''Lossless join'': спојување по (major_id, subject_id).
+ * ''Lossless join'': '''R12 = !MajorSubjects ⋈ R13''', спојување по '''!MajorSubjects ∩ R13 = { major_id, subject_id }'''. Тој пресек е клуч на '''!MajorSubjects''' (FD22), па важи (A ∩ B) → A и спојувањето е без загуба.
  * ''Dependency preservation'': FD22 е сочувана во !MajorSubjects.
 
@@ -322 +448 @@
 зависност во неа е суперклуч на таа релација.
 
- * Users - детерминанти user_id и email, обата се кандидат клучеви → БКНФ
- * !HighSchool - детерминанти high_school_id и user_id, обата се кандидат клучеви → БКНФ
- * Contact - детерминанти contact_id и user_id, обата се кандидат клучеви → БКНФ
- * Major - детерминанта major_id → БКНФ
- * !ActiveSemesters - детерминанти semester_id и (year, semester_type) → БКНФ
- * Subjects - детерминанти subject_id, subject_name, subject_code, сите кандидат клучеви → БКНФ
- * !EnrolledSemesters - детерминанти enrolled_id и (user_id, semester_id) → БКНФ
- * !SemestersSubjects - детерминанти sem_subject_id и (enrolled_id, subject_id) → БКНФ
- * !PassedSubjects - детерминанти passed_id и sem_subject_id → БКНФ
- * Documents - детерминанта document_id → БКНФ
- * Token - детерминанта token_id → БКНФ
- * Payment - детерминанта payment_id → БКНФ
- * !MajorSubjects - детерминанта (major_id, subject_id) → БКНФ
+ * Users - детерминанти user_id и email, обата се кандидат клучеви ⇒ БКНФ
+ * !HighSchool - детерминанти high_school_id и user_id, обата се кандидат клучеви ⇒ БКНФ
+ * Contact - детерминанти contact_id и user_id, обата се кандидат клучеви ⇒ БКНФ
+ * Major - детерминанта major_id ⇒ БКНФ
+ * !ActiveSemesters - детерминанти semester_id и (year, semester_type) ⇒ БКНФ
+ * Subjects - детерминанти subject_id, subject_name, subject_code, сите кандидат клучеви ⇒ БКНФ
+ * !EnrolledSemesters - детерминанти enrolled_id и (user_id, semester_id) ⇒ БКНФ
+ * !SemestersSubjects - детерминанти sem_subject_id и (enrolled_id, subject_id) ⇒ БКНФ
+ * !PassedSubjects - детерминанти passed_id и sem_subject_id ⇒ БКНФ
+ * Documents - детерминанта document_id ⇒ БКНФ
+ * Token - детерминанта token_id ⇒ БКНФ
+ * Payment - детерминанта payment_id ⇒ БКНФ
+ * !MajorSubjects - детерминанта (major_id, subject_id) ⇒ БКНФ
 
 === Пронајдено нарушување на БКНФ
@@ -357 +483 @@
  user_id се добива со спојување преку !EnrolledSemesters.
 
- * ''Lossless join'': enrolled_id е надворешен клуч кон !EnrolledSemesters, каде е клуч, па спојувањето е без загуба.
+ * ''Lossless join'': оригиналната Payment(payment_id, user_id, enrolled_id, amount) се дели на '''Payment(payment_id, enrolled_id, amount)''' и '''!EnrolledSemesters(enrolled_id, user_id, …)'''. Спојувањето е по '''Payment ∩ !EnrolledSemesters = { enrolled_id }'''. Тој пресек е клуч на '''!EnrolledSemesters''' (FD13), па важи (A ∩ B) → B и спојувањето е без загуба. Атрибутот user_id се враќа со Payment ⋈ !EnrolledSemesters по enrolled_id.
  * ''Dependency preservation'': FD21 останува сочувана, бидејќи payment_id → enrolled_id, amount е во Payment, а payment_id → user_id се изведува транзитивно преку FD13.
 
@@ -369 +495 @@
 распоредот на професорите.
 
+Повеќевредносните зависности кои важат во R13 се:
+
+ * '''MVD1''': user_id ↠ document_id
+ * '''MVD2''': subject_id ↠ prerequisite_id
+ * '''MVD3''': (semester_id, subject_id) ↠ teaching_prof_id
+
+Ниту една од трите лева страна не е суперклуч на R13, па R13 не е во 4НФ.
+
 '''Декомпозиција по 4НФ:'''
 
- * '''!UserDocuments'''(''__user_id__'', ''__document_id__'') - од FD23
- * '''!DependencySubject'''(''__subject_id__'', ''__prerequisite_id__'') - од FD24
- * '''!ProfessourSubjects'''(''__teaching_prof_id__'', ''__semester_id__'', ''__subject_id__'') - од FD25
-
-Останатите идентификатори од R13 (high_school_id, contact_id, major_id,
-enrolled_id, sem_subject_id, passed_id, token_id, payment_id) веќе се примарни
-клучеви во претходно издвоените релации, па не формираат нова релација.
-
- * ''Lossless join'': спојување по заедничките атрибути ја враќа R13.
- * ''Dependency preservation'': трите нови релации не носат функционални зависности, туку само врски.
+=== Чекор 1 - издвојување по MVD1
+
+ '''!UserDocuments'''(''__user_id__'', ''__document_id__'') - од FD23
+
+ R13a = R13 − { document_id }
+
+ * ''Lossless join'': '''R13 = !UserDocuments ⋈ R13a''', спојување по '''!UserDocuments ∩ R13a = { user_id }'''. Пресекот не е клуч на ниту една од двете, но важи MVD1: user_id ↠ document_id, односно множеството документи што ги побарал еден корисник не зависи од ниту еден друг атрибут во R13a. Според критериумот за 4НФ (A ∩ B) ↠ A, па спојувањето е без загуба.
+
+=== Чекор 2 - издвојување по MVD2
+
+ '''!DependencySubject'''(''__subject_id__'', ''__prerequisite_id__'') - од FD24
+
+ R13b = R13a − { prerequisite_id }
+
+ * ''Lossless join'': '''R13a = !DependencySubject ⋈ R13b''', спојување по '''!DependencySubject ∩ R13b = { subject_id }'''. Важи MVD2: subject_id ↠ prerequisite_id, бидејќи предусловите на еден предмет се исти без оглед на тоа кој студент го запишал. Значи (A ∩ B) ↠ A и спојувањето е без загуба.
+
+=== Чекор 3 - издвојување по MVD3
+
+ '''!ProfessourSubjects'''(''__teaching_prof_id__'', ''__semester_id__'', ''__subject_id__'') - од FD25
+
+ R13c = R13b − { teaching_prof_id }
+
+ * ''Lossless join'': '''R13b = !ProfessourSubjects ⋈ R13c''', спојување по '''!ProfessourSubjects ∩ R13c = { semester_id, subject_id }'''. Важи MVD3: (semester_id, subject_id) ↠ teaching_prof_id, бидејќи распоредот кој професор предава кој предмет во кој семестар е независен од конкретното запишување. Значи (A ∩ B) ↠ A и спојувањето е без загуба.
+
+=== Преостанатата релација
+
+ R13c = { user_id, high_school_id, contact_id, major_id, semester_id, subject_id,
+ enrolled_id, sem_subject_id, passed_id, token_id, payment_id }
+
+R13c '''не се задржува''' како посебна релација, бидејќи не носи нова информација.
+Секој нејзин атрибут е функционално определен од друг атрибут кој веќе постои во
+некоја од издвоените релации:
+
+ * token_id → user_id (FD20), веќе во '''Token'''
+ * payment_id → enrolled_id (FD21), веќе во '''Payment'''
+ * enrolled_id → user_id, major_id, semester_id (FD13), веќе во '''!EnrolledSemesters'''
+ * sem_subject_id → enrolled_id, subject_id (FD15), веќе во '''!SemestersSubjects'''
+ * passed_id → sem_subject_id (FD17), веќе во '''!PassedSubjects'''
+ * user_id → high_school_id, contact_id (FD3, FD5), веќе во '''!HighSchool''' и '''Contact'''
+
+Значи R13c = π(Token ⋈ Payment ⋈ !EnrolledSemesters ⋈ !SemestersSubjects ⋈
+!PassedSubjects ⋈ !HighSchool ⋈ Contact), при што секое спојување е по атрибут кој
+е клуч на едната страна. Затоа нејзиното отстранување е без загуба на информација.
+
+ * ''Dependency preservation'': трите нови релации не носат функционални зависности, туку само врски, па ниту една FD не се губи со оваа декомпозиција.
 
 == Финален резултат и дискусија
@@ -406 +575 @@
 зависности и е без загуба при спојување.
 
+=== Преглед на спојувањата
+
+Табелата ги сумира сите спојувања со кои се реконструира првичната релација R.
+Колоната ''Клуч на'' покажува на која релација заедничките атрибути се
+(супер)клуч, што е услов за спојување без загуба.
+
+|| '''Релација A''' || '''Релација B''' || '''Спојување по (A ∩ B)''' || '''Клуч на''' || '''Основа''' ||
+|| Documents || R1 || document_id || Documents || FD19 ||
+|| Token || R2 || token_id, user_id || Token || FD20 ||
+|| Payment || R3 || payment_id, enrolled_id || Payment || FD21 ||
+|| Subjects || R4 || subject_id || Subjects || FD10 ||
+|| Users || R5 || user_id || Users || FD1 ||
+|| !HighSchool || R6 || high_school_id, user_id || !HighSchool || FD3, FD4 ||
+|| Contact || R7 || contact_id, user_id || Contact || FD5, FD6 ||
+|| !EnrolledSemesters || R8 || enrolled_id, user_id, major_id, semester_id || !EnrolledSemesters || FD13 ||
+|| Major || R9 || major_id || Major || FD7 ||
+|| !ActiveSemesters || R10 || semester_id || !ActiveSemesters || FD8 ||
+|| !SemestersSubjects || R11 || sem_subject_id, enrolled_id, subject_id || !SemestersSubjects || FD15 ||
+|| !PassedSubjects || R12 || passed_id, sem_subject_id || !PassedSubjects || FD17, FD18 ||
+|| !MajorSubjects || R13 || major_id, subject_id || !MajorSubjects || FD22 ||
+|| !UserDocuments || R13a || user_id || ''(MVD)'' || MVD1 ||
+|| !DependencySubject || R13b || subject_id || ''(MVD)'' || MVD2 ||
+|| !ProfessourSubjects || R13c || semester_id, subject_id || ''(MVD)'' || MVD3 ||
+
+Кај првите тринаесет редови важи функционалната зависност (A ∩ B) → A, а кај
+последните три повеќевредносната (A ∩ B) ↠ A, што е условот за 4НФ.
+
 === Дискусија
 
@@ -433 +629 @@
 релација). Токму таа проверка го откри нарушувањето кај Payment.
 
+Со истата пресметка е потврдено дека затворачот на секој од петте кандидат клучеви
+ги покрива сите 57 атрибути на R, дека ниту едно нивно вистинско подмножество не е
+суперклуч, и дека не постои шести кандидат клуч.
+
 == Историјат
 
@@ -439 +639 @@
  Откриено и отстрането нарушување на БКНФ во релацијата Payment.
 
+ '''Верзија 2''' - По забелешки: додадена е целосна пресметка на затворачот за
+ сите пет кандидат клучеви со проверка дека покриваат 57/57 атрибути, проверка на
+ минималноста и доказ дека нема други кандидат клучеви. Кај секоја декомпозиција
+ е прецизно наведено кои две релации се спојуваат, по кои заеднички атрибути и на
+ која од нив тие се клуч, со посебен критериум за чекорите во 4НФ.
+ Стрелката → е задржана исклучиво за функционални зависности; преименувањата,
+ пресметките и заклучоците сега користат табела, односно ⇒.
+
 == Статус