Changes between Version 2 and Version 3 of Normalization

Timestamp:

09/25/26 15:57:36 (5 days ago)

Author:

201178

Comment:

--

Normalization

@@ -62 +62 @@
 || currency || ден ||
 
+=== Функционални зависности (почетно множество) ===
+
 Во денормализираната табела постојат следниве основни функционални зависности:
 
- * {user_id} → {username, password_hash, role_id, active}
- * {role_id} → {role_name, description}
- * {session_token} → {user_id, created_at, expires_at}
- * {shift_id} → {user_id, start_time, end_time}
- * {shift_close_id} → {shift_id, closed_by, total, order_count, closed_at}
- * {table_id} → {table_number, capacity, status}
- * {order_id} → {user_id, table_id, created_at, status}
- * {order_id, item_number} → {product_id, quantity, unit_price, status}
- * {product_id} → {category_id, name, description, price, active, min_stock}
- * {category_id} → {name, description, active}
- * {payment_id} → {order_id, amount, method, payment_date}
- * {invoice_id} → {payment_id, invoice_number, issued_at}
- * {ingredient_id} → {name, unit, min_stock, active}
- * {recipe_id} → {product_id}
- * {recipe_id, ingredient_id} → {quantity_needed}
- * {inventory_id} → {product_id, quantity_change, operation_type, created_at}
- * {ingredient_inventory_id} → {ingredient_id, quantity_change, operation_type, created_at}
- * {log_id} → {user_id, action, entity_name, created_at}
- * {setting_id} → {restaurant_name, vat_rate, currency}
-
-== Прва нормална форма (1NF) ==
-
-Форма во која повторно има една табела, но овојпат таа е ограничена со следниве правила:
-
- * Подредувањето на редовите не претставува никакво значење
- * Во ќелиите на секоја колона има по една вредност
- * Не се мешаат типови на податоци во една ќелија
- * Табелата има примарен композитен клуч
- * Нема повторувачки групи
-
-Примарен композитен клуч: (user_id, order_id, item_number, payment_id, invoice_id, ingredient_id, recipe_id, inventory_id, ingredient_inventory_id, log_id, shift_id, shift_close_id, session_token, table_id, category_id, role_id, setting_id)
-
-Овој клуч уникатно го идентификува секој ред бидејќи комбинира ги сите клучеви на ентитетите.
-
-=== Избор на примарен клуч во 1NF ===
-
-Поради големиот број на атрибути и сложеноста, композитниот клуч е многу голем. Ова е нормално за денормализирана форма и ќе се намали со декомпозиција.
-
-== Втора нормална форма (2NF) ==
-
-Форма која ги следи овие правила:
-
- * Веќе е во прва нормална форма
- * Секој атрибут кој не е клуч, зависи од целосниот примарен клуч (нема парцијални зависности)
-
-=== Проблем во 1NF: парцијални зависности ===
-
-Во 1NF постојат атрибути кои зависат само од дел од примарниот клуч:
-
- * {user_id} → {username, password_hash, role_id, active}
- * {role_id} → {role_name, description}
- * {session_token} → {user_id, created_at, expires_at}
- * {shift_id} → {user_id, start_time, end_time}
- * {table_id} → {table_number, capacity, status}
- * {order_id} → {user_id, table_id, created_at, status}
- * {product_id} → {category_id, name, description, price, active, min_stock}
- * {category_id} → {name, description, active}
- * {payment_id} → {order_id, amount, method, payment_date}
- * {invoice_id} → {payment_id, invoice_number, issued_at}
- * {ingredient_id} → {name, unit, min_stock, active}
- * {recipe_id} → {product_id}
- * {inventory_id} → {product_id, quantity_change, operation_type, created_at}
- * {ingredient_inventory_id} → {ingredient_id, quantity_change, operation_type, created_at}
- * {log_id} → {user_id, action, entity_name, created_at}
- * {setting_id} → {restaurant_name, vat_rate, currency}
- * {shift_close_id} → {shift_id, closed_by, total, order_count, closed_at}
-
-Ова ја крши 2NF. Решение: декомпозиција - секоја група на атрибути која зависи од дел од композитниот клуч се издвојува во посебна табела каде тој дел станува примарен клуч.
+{{{
+F = {
+  f1:  {user_id} → {username, password_hash, role_id, first_name, last_name, email, active}
+  f2:  {role_id} → {role_name, description}
+  f3:  {session_token} → {user_id, session_created_at, expires_at}
+  f4:  {shift_id} → {user_id, shift_start_time, shift_end_time}
+  f5:  {shift_close_id} → {shift_id, closed_by, total, order_count, closed_at}
+  f6:  {table_id} → {table_number, capacity, table_status}
+  f7:  {order_id} → {user_id, table_id, order_created_at, order_status}
+  f8:  {order_id, item_number} → {product_id, quantity, unit_price, item_status}
+  f9:  {product_id} → {category_id, product_name, description, price, active, product_min_stock}
+  f10: {category_id} → {category_name, description, active}
+  f11: {payment_id} → {order_id, amount, method, payment_date}
+  f12: {invoice_id} → {payment_id, invoice_number, issued_at}
+  f13: {ingredient_id} → {ingredient_name, unit, ingredient_min_stock, active}
+  f14: {recipe_id} → {product_id}
+  f15: {recipe_id, ingredient_id} → {quantity_needed}
+  f16: {inventory_id} → {product_id, quantity_change, operation_type, inventory_created_at}
+  f17: {ingredient_inventory_id} → {ingredient_id, quantity_change, operation_type, ingredient_inventory_created_at}
+  f18: {log_id} → {user_id, action, entity_name, log_created_at}
+  f19: {setting_id} → {restaurant_name, vat_rate, currency}
+}
+}}}
+
+''Забелешка:'' Поради преклопување на имиња на атрибути (на пр. `name` во PRODUCT, CATEGORY, INGREDIENT; `status` во RESTAURANT_TABLE и ORDER_ITEM; `min_stock` во PRODUCT и INGREDIENT; `created_at` во SESSION, ORDERS, INVENTORY, INGREDIENT_INVENTORY, AUDIT_LOG), во глобалната релација истите се преименувани со префикс за да нема дупликати.
+
+=== Canonical cover (минимално покритие) ===
+
+За формална анализа се користи '''canonical cover''' `F_c` — минимално множество ФЗ еквивалентно на `F`, без излишни атрибути и без излишни зависности.
+
+'''Чекор 1 — Дескомпозиција на десните страни (RHS) на единечни атрибути:'''
+
+{{{
+f1:  user_id → username, user_id → password_hash, user_id → role_id,
+     user_id → first_name, user_id → last_name, user_id → email, user_id → active
+f2:  role_id → role_name, role_id → description
+f3:  session_token → user_id, session_token → session_created_at, session_token → expires_at
+f4:  shift_id → user_id, shift_id → shift_start_time, shift_id → shift_end_time
+f5:  shift_close_id → shift_id, shift_close_id → closed_by, shift_close_id → total,
+     shift_close_id → order_count, shift_close_id → closed_at
+f6:  table_id → table_number, table_id → capacity, table_id → table_status
+f7:  order_id → user_id, order_id → table_id, order_id → order_created_at, order_id → order_status
+f8:  (order_id, item_number) → product_id, (order_id, item_number) → quantity,
+     (order_id, item_number) → unit_price, (order_id, item_number) → item_status
+f9:  product_id → category_id, product_id → product_name, product_id → description,
+     product_id → price, product_id → active, product_id → product_min_stock
+f10: category_id → category_name, category_id → description, category_id → active
+f11: payment_id → order_id, payment_id → amount, payment_id → method, payment_id → payment_date
+f12: invoice_id → payment_id, invoice_id → invoice_number, invoice_id → issued_at
+f13: ingredient_id → ingredient_name, ingredient_id → unit, ingredient_id → ingredient_min_stock,
+     ingredient_id → active
+f14: recipe_id → product_id
+f15: (recipe_id, ingredient_id) → quantity_needed
+f16: inventory_id → product_id, inventory_id → quantity_change, inventory_id → operation_type,
+     inventory_id → inventory_created_at
+f17: ingredient_inventory_id → ingredient_id, ingredient_inventory_id → quantity_change,
+     ingredient_inventory_id → operation_type, ingredient_inventory_id → ingredient_inventory_created_at
+f18: log_id → user_id, log_id → action, log_id → entity_name, log_id → log_created_at
+f19: setting_id → restaurant_name, setting_id → vat_rate, setting_id → currency
+}}}
+
+'''Чекор 2 — Отстранување на излишни атрибути од левите страни (LHS):'''
+
+Сите LHS се единечни атрибути освен f8 и f15:
+ * `(order_id, item_number)`: ниту `order_id` сам, ниту `item_number` сам не определува `product_id`, `quantity`, `unit_price`, `item_status` → '''ниту еден атрибут не е излишен'''.
+ * `(recipe_id, ingredient_id)`: ниту `recipe_id` сам, ниту `ingredient_id` сам не определува `quantity_needed` → '''ниту еден атрибут не е излишен'''.
+
+'''Чекор 3 — Отстранување на излишни ФЗ:'''
+
+Ниту една ФЗ не е излишна (не може да се изведе од останатите):
+ * `product_id → category_id` не може да се изведе од `category_id → ...` (обратна насока).
+ * `recipe_id → product_id` не може да се изведе од `product_id → ...`.
+ * `invoice_id → payment_id` не може да се изведе од `payment_id → ...`.
+
+'''Заклучок:''' `F_c = F` (почетното множество е веќе минимално покритие по единечни атрибути).
+
+== Кандидат-клучеви и избор на примарен клуч ==
+
+=== Формална дефиниција ===
+
+Нека `R` е денормализираната релација со множество атрибути `U` и множество ФЗ `F`. '''Кандидат-клуч (К.К.)''' е подмножество `K ⊆ U` такво што:
+
+ # '''Уникатност:''' `K → U` (K е супер-клуч).
+ # '''Минималност:''' не постои вистинско подмножество `K' ⊂ K` со `K' → U`.
+
+'''Примарен клуч (PK)''' е еден избран кандидат-клуч.
+
+=== Пресметка на затворање на атрибути (attribute closure) ===
+
+За секој атрибут/подмножество се пресметува `X⁺` (затворање) со алгоритмот:
+
+{{{
+result := X
+repeat
+  for each FD Y → Z in F:
+    if Y ⊆ result then result := result ∪ Z
+until no change
+return result
+}}}
+
+Кандидат-клуч е `X` ако `X⁺ = U` и не постои вистинско подмножество со истото својство.
+
+=== Определување на кандидат-клучеви ===
+
+'''Атрибути кои НЕ се појавуваат на RHS на ниту една ФЗ''' (мора да бидат во секој кандидат-клуч):
+
+{{{
+session_token, shift_close_id, inventory_id, ingredient_inventory_id,
+log_id, setting_id, item_number, recipe_id, invoice_id
+}}}
+
+Овие 9 атрибути мора да бидат дел од секој кандидат-клуч. Да го пресметаме нивното затворање:
+
+{{{
+X0 = {session_token, shift_close_id, inventory_id, ingredient_inventory_id,
+      log_id, setting_id, item_number, recipe_id, invoice_id}
+X0⁺ = X0
+  ∪ {user_id, session_created_at, expires_at}                       (од session_token)
+  ∪ {shift_id, closed_by, total, order_count, closed_at}            (од shift_close_id)
+  ∪ {product_id, quantity_change, operation_type, inventory_created_at}  (од inventory_id)
+  ∪ {ingredient_id, ..., ingredient_inventory_created_at}           (од ingredient_inventory_id)
+  ∪ {user_id, action, entity_name, log_created_at}                  (од log_id)
+  ∪ {restaurant_name, vat_rate, currency}                           (од setting_id)
+  ∪ {quantity_needed}                                               (од (recipe_id, ingredient_id) → quantity_needed)
+  ∪ {payment_id, invoice_number, issued_at}                         (од invoice_id → payment_id, ...)
+}}}
+
+Ова не е целото `U` — недостигаат `order_id`, `table_id`, `category_id`, `role_id`, `username`, `password_hash`, `first_name`, `last_name`, `email`, `active`, `role_name`, `description`, `table_number`, `capacity`, `table_status`, `order_status`, `order_created_at`, `quantity`, `unit_price`, `item_status`, `product_name`, `price`, `product_min_stock`, `category_name`, `amount`, `method`, `payment_date`, `ingredient_name`, `unit`, `ingredient_min_stock`, `shift_start_time`, `shift_end_time`.
+
+Значи `X0` не е супер-клуч. Треба да се додадат атрибути.
+
+'''Додавање на `order_id` и `payment_id`:'''
+
+{{{
+X1 = X0 ∪ {order_id, payment_id}
+X1⁺ = X0⁺ ∪ {user_id, table_id, order_created_at, order_status}   (од order_id → ...)
+         ∪ {amount, method, payment_date}                          (од payment_id → ...)
+}}}
+
+Сега преку `order_id → user_id`:
+ * `user_id → username, password_hash, role_id, first_name, last_name, email, active`
+ * `role_id → role_name, description`
+
+Преку `order_id → table_id`:
+ * `table_id → table_number, capacity, table_status`
+
+Преку `product_id` (веќе во X0 преку inventory_id и recipe_id):
+ * `product_id → category_id, product_name, description, price, active, product_min_stock`
+ * `category_id → category_name, description, active`
+
+'''Сега `X1⁺ = U`.''' Значи:
+
+{{{
+K = {session_token, shift_close_id, inventory_id, ingredient_inventory_id,
+     log_id, setting_id, order_id, item_number, payment_id, invoice_id, recipe_id}
+}}}
+
+е супер-клуч.
+
+'''Проверка на минималност:''' Да провериме дали некој атрибут е излишен:
+
+ * Отстранување на `session_token` → `session_created_at`, `expires_at` не можат да се изведат → '''неопходен'''.
+ * Отстранување на `shift_close_id` → `shift_id`, `closed_by`, `total`, `order_count`, `closed_at` не можат да се изведат → '''неопходен'''.
+ * Отстранување на `inventory_id` → `quantity_change`, `operation_type`, `inventory_created_at` не можат да се изведат → '''неопходен'''.
+ * Отстранување на `ingredient_inventory_id` → `ingredient_id` не може да се изведе → '''неопходен'''.
+ * Отстранување на `log_id` → `action`, `entity_name`, `log_created_at` не можат да се изведат → '''неопходен'''.
+ * Отстранување на `setting_id` → `restaurant_name`, `vat_rate`, `currency` не можат да се изведат → '''неопходен'''.
+ * Отстранување на `order_id` → `table_id`, `order_created_at`, `order_status` не можат да се изведат → '''неопходен'''.
+ * Отстранување на `item_number` → `quantity`, `unit_price`, `item_status` не можат да се изведат → '''неопходен'''.
+ * Отстранување на `payment_id` → `amount`, `method`, `payment_date` не можат да се изведат → '''неопходен'''.
+ * Отстранување на `invoice_id` → `invoice_number`, `issued_at` не можат да се изведат → '''неопходен'''.
+ * Отстранување на `recipe_id` → `quantity_needed` не може да се изведе → '''неопходен'''.
+
+'''Заклучок:''' `K` е '''минимален супер-клуч''', значи е '''кандидат-клуч'''.
+
+=== Дали има друг кандидат-клуч? ===
+
+Секој кандидат-клуч мора да ги содржи сите атрибути што не се појавуваат на RHS:
+
+{{{
+{session_token, shift_close_id, inventory_id, ingredient_inventory_id,
+ log_id, setting_id, item_number, recipe_id, invoice_id}
+}}}
+
+Понатаму:
+ * За да се добијат `order_id`-зависните атрибути (`table_id`, `order_created_at`, `order_status`), мора да има `order_id` (или `payment_id` од кој се изведува `order_id`).
+ * За `amount`, `method`, `payment_date` мора да има `payment_id` (бидејќи `order_id → payment_id` не постои).
+ * За `invoice_number`, `issued_at` мора да има `invoice_id`.
+
+Значи секој кандидат-клуч мора да го содржи множеството:
+
+{{{
+K_min = {session_token, shift_close_id, inventory_id, ingredient_inventory_id,
+         log_id, setting_id, item_number, recipe_id, invoice_id, order_id, payment_id}
+}}}
+
+Ова е токму `K`. Бидејќи `K` е минимален и секој кандидат-клуч мора да го содржи `K_min = K`, следи дека '''не постои друг кандидат-клуч'''.
+
+=== Избор на примарен клуч ===
+
+За примарен клуч се избира кандидат-клучот `K`:
+
+{{{
+PK = (session_token, shift_close_id, inventory_id, ingredient_inventory_id,
+      log_id, setting_id, order_id, item_number, payment_id, invoice_id, recipe_id)
+}}}
+
+'''Забелешка:''' Овој PK е многу голем (11 атрибути) поради денормализираната природа. Со декомпозицијата тој ќе се намали.
+
+=== Во која NF е денормализираната релација? ===
+
+ * '''1NF:''' Да — сите ќелии содржат атомски вредности (по една вредност), нема повторувачки групи, нема мешање на типови.
+ * '''2NF:''' Не — постојат '''парцијални зависности''': многу не-клучни атрибути зависат само од дел од композитниот клуч (на пр. `user_id → username, ...` каде `user_id` е дел од PK).
+ * '''3NF:''' Не — поради парцијалните зависности (2NF не е задоволен).
+ * '''BCNF:''' Не.
+
+'''Заклучок:''' Денормализираната релација е во '''1NF''', но не е во 2NF. Декомпозицијата започнува од 2NF.
+
+== 1NF декомпозиција ==
+
+Релацијата е веќе во 1NF (види погоре). Не е потребна дополнителна декомпозиција за 1NF. Се преминува на 2NF.
+
+== 2NF декомпозиција ==
+
+'''Проблем:''' Во 1NF постојат парцијални зависности — не-клучни атрибути зависат само од '''дел''' од композитниот PK. Секоја таква група се издвојува во посебна табела каде тој дел станува PK.
+
+'''Постапка:''' За секоја ФЗ `X → Y` каде `X ⊂ PK`, се создава нова релација `R_i(X ∪ Y)` со PK = `X`. Потоа се проверува '''lossless join''' и '''preservation of FDs'''.
+
+'''Проверка на lossless join (теорема):''' Ако `R1` и `R2` се декомпозиција на `R`, и `R1 ∩ R2 → R1` или `R1 ∩ R2 → R2`, тогаш декомпозицијата е lossless.
+
+'''Проверка на preservation of FDs:''' Се проверува дали `(F1 ∪ F2 ∪ ... ∪ Fn)⁺ = F⁺`, каде `Fi` се ФЗ што важат во новата релација `Ri`.
 
 === R1: ROLE ===
 
+{{{
 {role_id} → {role_name, description}
+}}}
 
 || role_id || role_name || description ||
@@ -142 +309 @@
 || 3 || MANAGER || Restaurant manager ||
 
-'''Lossless join test:'''
-
-R ∩ R1 = {role_id, role_name, description}
-
-Бидејќи {role_id} → {role_name, description}, а role_id ∈ (R ∩ R1), следи дека (R ∩ R1) → R1.
-
-⇒ Декомпозицијата е lossless.
-
-R1.1 = R - {role_name, description}
+ * '''ФЗ што важат:''' `{role_id} → {role_name, description}`.
+ * '''К.К.:''' `{role_id}` (единствен; `role_name` не е уникатен во општ случај).
+ * '''PK:''' `role_id`.
+ * '''NF:''' BCNF (единствена ФЗ, LHS = PK = супер-клуч).
+ * '''Lossless join test:''' `R ∩ R1 = {role_id, role_name, description}`. Бидејќи `{role_id} → {role_name, description}` и `role_id ∈ (R ∩ R1)`, следи `(R ∩ R1) → R1`. ⇒ '''lossless'''.
+ * '''Preservation of FDs:''' `f2` е зачувана во R1. ⇒ '''preserved'''.
+ * '''Остаток:''' `R1.1 = R − {role_name, description}`.
 
 === R2: APP_USER ===
 
+{{{
 {user_id} → {username, password_hash, role_id, first_name, last_name, email, active}
+}}}
 
 || user_id || username || password_hash || role_id || first_name || last_name || email || active ||
@@ -162 +329 @@
 || 7 || (null) || $2a$06$... || 2 || Georgi || Paunkov || (null) || t ||
 
-'''Lossless join test:'''
-
-R1.1 ∩ R2 = {user_id, username, password_hash, role_id, first_name, last_name, email, active}
-
-Бидејќи {user_id} → {username, password_hash, role_id, first_name, last_name, email, active}, а user_id ∈ (R1.1 ∩ R2), следи дека (R1.1 ∩ R2) → R2.
-
-⇒ Декомпозицијата е lossless.
-
-R2.1 = R1.1 - {username, password_hash, role_id, first_name, last_name, email, active}
+ * '''ФЗ што важат:''' `{user_id} → {username, password_hash, role_id, first_name, last_name, email, active}`.
+ * '''К.К.:''' `{user_id}` (единствен; `username` и `email` имаат NULL вредности, не се уникатни).
+ * '''PK:''' `user_id`.
+ * '''NF:''' BCNF.
+ * '''Lossless join test:''' `R1.1 ∩ R2 = {user_id, username, password_hash, role_id, first_name, last_name, email, active}`. Бидејќи `{user_id} → {...}` и `user_id ∈ (R1.1 ∩ R2)`, следи `(R1.1 ∩ R2) → R2`. ⇒ '''lossless'''.
+ * '''Preservation of FDs:''' `f1` е зачувана. ⇒ '''preserved'''.
+ * '''Остаток:''' `R2.1 = R1.1 − {username, password_hash, role_id, first_name, last_name, email, active}`.
 
 === R3: SESSION ===
 
-{session_token} → {user_id, created_at, expires_at}
+{{{
+{session_token} → {user_id, session_created_at, expires_at}
+}}}
 
 || token || user_id || created_at || expires_at ||
@@ -180 +347 @@
 (празна табела)
 
-'''Lossless join test:'''
-
-R2.1 ∩ R3 = {session_token, user_id, created_at, expires_at}
-
-Бидејќи {session_token} → {user_id, created_at, expires_at}, а session_token ∈ (R2.1 ∩ R3), следи дека (R2.1 ∩ R3) → R3.
-
-⇒ Декомпозицијата е lossless.
-
-R3.1 = R2.1 - {user_id, created_at, expires_at}
+ * '''ФЗ што важат:''' `{session_token} → {user_id, session_created_at, expires_at}`.
+ * '''К.К.:''' `{session_token}`.
+ * '''PK:''' `token`.
+ * '''NF:''' BCNF.
+ * '''Lossless join test:''' `R2.1 ∩ R3 = {session_token, user_id, session_created_at, expires_at}`. `{session_token} → {...}` и `session_token ∈ (R2.1 ∩ R3)` ⇒ `(R2.1 ∩ R3) → R3`. ⇒ '''lossless'''.
+ * '''Preservation of FDs:''' `f3` зачувана. ⇒ '''preserved'''.
+ * '''Остаток:''' `R3.1 = R2.1 − {user_id, session_created_at, expires_at}`.
 
 === R4: SHIFT ===
 
-{shift_id} → {user_id, start_time, end_time}
+{{{
+{shift_id} → {user_id, shift_start_time, shift_end_time}
+}}}
 
 || shift_id || user_id || start_time || end_time ||
 || 1 || 2 || 2026-01-10 08:00:00 || 2026-01-10 16:00:00 ||
 
-'''Lossless join test:'''
-
-R3.1 ∩ R4 = {shift_id, user_id, start_time, end_time}
-
-Бидејќи {shift_id} → {user_id, start_time, end_time}, а shift_id ∈ (R3.1 ∩ R4), следи дека (R3.1 ∩ R4) → R4.
-
-⇒ Декомпозицијата е lossless.
-
-R4.1 = R3.1 - {user_id, start_time, end_time}
+ * '''ФЗ што важат:''' `{shift_id} → {user_id, shift_start_time, shift_end_time}`.
+ * '''К.К.:''' `{shift_id}`.
+ * '''PK:''' `shift_id`.
+ * '''NF:''' BCNF.
+ * '''Lossless join test:''' `R3.1 ∩ R4 = {shift_id, user_id, shift_start_time, shift_end_time}`. `{shift_id} → {...}` ⇒ `(R3.1 ∩ R4) → R4`. ⇒ '''lossless'''.
+ * '''Preservation of FDs:''' `f4` зачувана. ⇒ '''preserved'''.
+ * '''Остаток:''' `R4.1 = R3.1 − {user_id, shift_start_time, shift_end_time}`.
 
 === R5: RESTAURANT_TABLE ===
 
-{table_id} → {table_number, capacity, status}
+{{{
+{table_id} → {table_number, capacity, table_status}
+}}}
 
 || table_id || table_number || capacity || status ||
@@ -219 +386 @@
 || ... || ... || ... || ... ||
 
-'''Lossless join test:'''
-
-R4.1 ∩ R5 = {table_id, table_number, capacity, status}
-
-Бидејќи {table_id} → {table_number, capacity, status}, а table_id ∈ (R4.1 ∩ R5), следи дека (R4.1 ∩ R5) → R5.
-
-⇒ Декомпозицијата е lossless.
-
-R5.1 = R4.1 - {table_number, capacity, status}
+ * '''ФЗ што важат:''' `{table_id} → {table_number, capacity, table_status}`.
+ * '''К.К.:''' `{table_id}`.
+ * '''PK:''' `table_id`.
+ * '''NF:''' BCNF.
+ * '''Lossless join test:''' `R4.1 ∩ R5 = {table_id, table_number, capacity, table_status}`. `{table_id} → {...}` ⇒ `(R4.1 ∩ R5) → R5`. ⇒ '''lossless'''.
+ * '''Preservation of FDs:''' `f6` зачувана. ⇒ '''preserved'''.
+ * '''Остаток:''' `R5.1 = R4.1 − {table_number, capacity, table_status}`.
 
 === R6: CATEGORY ===
 
-{category_id} → {name, description, active}
+{{{
+{category_id} → {category_name, description, active}
+}}}
 
 || category_id || name || description || active ||
@@ -239 +406 @@
 || ... || ... || ... || ... ||
 
-'''Lossless join test:'''
-
-R5.1 ∩ R6 = {category_id, name, description, active}
-
-Бидејќи {category_id} → {name, description, active}, а category_id ∈ (R5.1 ∩ R6), следи дека (R5.1 ∩ R6) → R6.
-
-⇒ Декомпозицијата е lossless.
-
-R6.1 = R5.1 - {name, description, active}
+ * '''ФЗ што важат:''' `{category_id} → {category_name, description, active}`.
+ * '''К.К.:''' `{category_id}`.
+ * '''PK:''' `category_id`.
+ * '''NF:''' BCNF.
+ * '''Lossless join test:''' `R5.1 ∩ R6 = {category_id, category_name, description, active}`. `{category_id} → {...}` ⇒ `(R5.1 ∩ R6) → R6`. ⇒ '''lossless'''.
+ * '''Preservation of FDs:''' `f10` зачувана. ⇒ '''preserved'''.
+ * '''Остаток:''' `R6.1 = R5.1 − {category_name, description, active}`.
 
 === R7: PRODUCT ===
 
-{product_id} → {category_id, name, description, price, active, min_stock}
+{{{
+{product_id} → {category_id, product_name, description, price, active, product_min_stock}
+}}}
 
 || product_id || category_id || name || description || price || active || min_stock ||
@@ -258 +425 @@
 || ... || ... || ... || ... || ... || ... || ... ||
 
-'''Lossless join test:'''
-
-R6.1 ∩ R7 = {product_id, category_id, name, description, price, active, min_stock}
-
-Бидејќи {product_id} → {category_id, name, description, price, active, min_stock}, а product_id ∈ (R6.1 ∩ R7), следи дека (R6.1 ∩ R7) → R7.
-
-⇒ Декомпозицијата е lossless.
-
-R7.1 = R6.1 - {category_id, name, description, price, active, min_stock}
+ * '''ФЗ што важат:''' `{product_id} → {category_id, product_name, description, price, active, product_min_stock}`.
+ * '''К.К.:''' `{product_id}`.
+ * '''PK:''' `product_id`.
+ * '''NF:''' BCNF.
+ * '''Lossless join test:''' `R6.1 ∩ R7 = {product_id, category_id, product_name, description, price, active, product_min_stock}`. `{product_id} → {...}` ⇒ `(R6.1 ∩ R7) → R7`. ⇒ '''lossless'''.
+ * '''Preservation of FDs:''' `f9` зачувана. ⇒ '''preserved'''.
+ * '''Остаток:''' `R7.1 = R6.1 − {category_id, product_name, description, price, active, product_min_stock}`.
 
 === R8: ORDERS ===
 
-{order_id} → {user_id, table_id, created_at, status}
+{{{
+{order_id} → {user_id, table_id, order_created_at, order_status}
+}}}
 
 || order_id || user_id || table_id || created_at || status ||
@@ -277 +444 @@
 || ... || ... || ... || ... || ... ||
 
-'''Lossless join test:'''
-
-R7.1 ∩ R8 = {order_id, user_id, table_id, created_at, status}
-
-Бидејќи {order_id} → {user_id, table_id, created_at, status}, а order_id ∈ (R7.1 ∩ R8), следи дека (R7.1 ∩ R8) → R8.
-
-⇒ Декомпозицијата е lossless.
-
-R8.1 = R7.1 - {user_id, table_id, created_at, status}
+ * '''ФЗ што важат:''' `{order_id} → {user_id, table_id, order_created_at, order_status}`.
+ * '''К.К.:''' `{order_id}`.
+ * '''PK:''' `order_id`.
+ * '''NF:''' BCNF.
+ * '''Lossless join test:''' `R7.1 ∩ R8 = {order_id, user_id, table_id, order_created_at, order_status}`. `{order_id} → {...}` ⇒ `(R7.1 ∩ R8) → R8`. ⇒ '''lossless'''.
+ * '''Preservation of FDs:''' `f7` зачувана. ⇒ '''preserved'''.
+ * '''Остаток:''' `R8.1 = R7.1 − {user_id, table_id, order_created_at, order_status}`.
 
 === R9: PAYMENT ===
 
+{{{
 {payment_id} → {order_id, amount, method, payment_date}
+}}}
 
 || payment_id || order_id || amount || method || payment_date ||
@@ -296 +463 @@
 || ... || ... || ... || ... || ... ||
 
-'''Lossless join test:'''
-
-R8.1 ∩ R9 = {payment_id, order_id, amount, method, payment_date}
-
-Бидејќи {payment_id} → {order_id, amount, method, payment_date}, а payment_id ∈ (R8.1 ∩ R9), следи дека (R8.1 ∩ R9) → R9.
-
-⇒ Декомпозицијата е lossless.
-
-R9.1 = R8.1 - {order_id, amount, method, payment_date}
+ * '''ФЗ што важат:''' `{payment_id} → {order_id, amount, method, payment_date}`.
+ * '''К.К.:''' `{payment_id}`.
+ * '''PK:''' `payment_id`.
+ * '''NF:''' BCNF.
+ * '''Lossless join test:''' `R8.1 ∩ R9 = {payment_id, order_id, amount, method, payment_date}`. `{payment_id} → {...}` ⇒ `(R8.1 ∩ R9) → R9`. ⇒ '''lossless'''.
+ * '''Preservation of FDs:''' `f11` зачувана. ⇒ '''preserved'''.
+ * '''Остаток:''' `R9.1 = R8.1 − {order_id, amount, method, payment_date}`.
 
 === R10: INVOICE ===
 
+{{{
 {invoice_id} → {payment_id, invoice_number, issued_at}
+}}}
 
 || invoice_id || payment_id || invoice_number || issued_at ||
@@ -315 +482 @@
 || ... || ... || ... || ... ||
 
-'''Lossless join test:'''
-
-R9.1 ∩ R10 = {invoice_id, payment_id, invoice_number, issued_at}
-
-Бидејќи {invoice_id} → {payment_id, invoice_number, issued_at}, а invoice_id ∈ (R9.1 ∩ R10), следи дека (R9.1 ∩ R10) → R10.
-
-⇒ Декомпозицијата е lossless.
-
-R10.1 = R9.1 - {payment_id, invoice_number, issued_at}
+ * '''ФЗ што важат:''' `{invoice_id} → {payment_id, invoice_number, issued_at}`.
+ * '''К.К.:''' `{invoice_id}`.
+ * '''PK:''' `invoice_id`.
+ * '''NF:''' BCNF.
+ * '''Lossless join test:''' `R9.1 ∩ R10 = {invoice_id, payment_id, invoice_number, issued_at}`. `{invoice_id} → {...}` ⇒ `(R9.1 ∩ R10) → R10`. ⇒ '''lossless'''.
+ * '''Preservation of FDs:''' `f12` зачувана. ⇒ '''preserved'''.
+ * '''Остаток:''' `R10.1 = R9.1 − {payment_id, invoice_number, issued_at}`.
 
 === R11: INGREDIENT ===
 
-{ingredient_id} → {name, unit, min_stock, active}
+{{{
+{ingredient_id} → {ingredient_name, unit, ingredient_min_stock, active}
+}}}
 
 (празна табела)
 
-'''Lossless join test:'''
-
-R10.1 ∩ R11 = {ingredient_id, name, unit, min_stock, active}
-
-Бидејќи {ingredient_id} → {name, unit, min_stock, active}, а ingredient_id ∈ (R10.1 ∩ R11), следи дека (R10.1 ∩ R11) → R11.
-
-⇒ Декомпозицијата е lossless.
-
-R11.1 = R10.1 - {name, unit, min_stock, active}
+ * '''ФЗ што важат:''' `{ingredient_id} → {ingredient_name, unit, ingredient_min_stock, active}`.
+ * '''К.К.:''' `{ingredient_id}`.
+ * '''PK:''' `ingredient_id`.
+ * '''NF:''' BCNF.
+ * '''Lossless join test:''' `R10.1 ∩ R11 = {ingredient_id, ingredient_name, unit, ingredient_min_stock, active}`. `{ingredient_id} → {...}` ⇒ `(R10.1 ∩ R11) → R11`. ⇒ '''lossless'''.
+ * '''Preservation of FDs:''' `f13` зачувана. ⇒ '''preserved'''.
+ * '''Остаток:''' `R11.1 = R10.1 − {ingredient_name, unit, ingredient_min_stock, active}`.
 
 === R12: RECIPE ===
 
+{{{
 {recipe_id} → {product_id}
+}}}
 
 (празна табела)
 
-'''Lossless join test:'''
-
-R11.1 ∩ R12 = {recipe_id, product_id}
-
-Бидејќи {recipe_id} → {product_id}, а recipe_id ∈ (R11.1 ∩ R12), следи дека (R11.1 ∩ R12) → R12.
-
-⇒ Декомпозицијата е lossless.
-
-R12.1 = R11.1 - {product_id}
-
-=== R13: INVENTORY ===
-
-{inventory_id} → {product_id, quantity_change, operation_type, created_at}
+ * '''ФЗ што важат:''' `{recipe_id} → {product_id}`.
+ * '''К.К.:''' `{recipe_id}`.
+ * '''PK:''' `recipe_id`.
+ * '''NF:''' BCNF.
+ * '''Lossless join test:''' `R11.1 ∩ R12 = {recipe_id, product_id}`. `{recipe_id} → {product_id}` ⇒ `(R11.1 ∩ R12) → R12`. ⇒ '''lossless'''.
+ * '''Preservation of FDs:''' `f14` зачувана. ⇒ '''preserved'''.
+ * '''Остаток:''' `R12.1 = R11.1 − {product_id}`.
+
+=== R13: INVENTORY ==={{{
+{inventory_id} → {product_id, quantity_change, operation_type, inventory_created_at}
+}}}
 
 || inventory_id || product_id || quantity_change || operation_type || created_at ||
@@ -366 +531 @@
 || ... || ... || ... || ... || ... ||
 
-'''Lossless join test:'''
-
-R12.1 ∩ R13 = {inventory_id, product_id, quantity_change, operation_type, created_at}
-
-Бидејќи {inventory_id} → {product_id, quantity_change, operation_type, created_at}, а inventory_id ∈ (R12.1 ∩ R13), следи дека (R12.1 ∩ R13) → R13.
-
-⇒ Декомпозицијата е lossless.
-
-R13.1 = R12.1 - {product_id, quantity_change, operation_type, created_at}
+ * '''ФЗ што важат:''' `{inventory_id} → {product_id, quantity_change, operation_type, inventory_created_at}`.
+ * '''К.К.:''' `{inventory_id}`.
+ * '''PK:''' `inventory_id`.
+ * '''NF:''' BCNF.
+ * '''Lossless join test:''' `R12.1 ∩ R13 = {inventory_id, product_id, quantity_change, operation_type, inventory_created_at}`. `{inventory_id} → {...}` ⇒ `(R12.1 ∩ R13) → R13`. ⇒ '''lossless'''.
+ * '''Preservation of FDs:''' `f16` зачувана. ⇒ '''preserved'''.
+ * '''Остаток:''' `R13.1 = R12.1 − {product_id, quantity_change, operation_type, inventory_created_at}`.
 
 === R14: INGREDIENT_INVENTORY ===
 
-{ingredient_inventory_id} → {ingredient_id, quantity_change, operation_type, created_at}
+{{{
+{ingredient_inventory_id} → {ingredient_id, quantity_change, operation_type, ingredient_inventory_created_at}
+}}}
 
 (празна табела)
 
-'''Lossless join test:'''
-
-R13.1 ∩ R14 = {id, ingredient_id, quantity_change, operation_type, created_at}
-
-⇒ Декомпозицијата е lossless.
-
-R14.1 = R13.1 - {ingredient_id, quantity_change, operation_type, created_at}
+ * '''ФЗ што важат:''' `{ingredient_inventory_id} → {ingredient_id, quantity_change, operation_type, ingredient_inventory_created_at}`.
+ * '''К.К.:''' `{ingredient_inventory_id}`.
+ * '''PK:''' `ingredient_inventory_id` (во финалниот дизајн `id`).
+ * '''NF:''' BCNF.
+ * '''Lossless join test:''' `R13.1 ∩ R14 = {ingredient_inventory_id, ingredient_id, quantity_change, operation_type, ingredient_inventory_created_at}`. `{ingredient_inventory_id} → {...}` ⇒ `(R13.1 ∩ R14) → R14`. ⇒ '''lossless'''.
+ * '''Preservation of FDs:''' `f17` зачувана. ⇒ '''preserved'''.
+ * '''Остаток:''' `R14.1 = R13.1 − {ingredient_id, quantity_change, operation_type, ingredient_inventory_created_at}`.
 
 === R15: AUDIT_LOG ===
 
-{log_id} → {user_id, action, entity_name, created_at}
+{{{
+{log_id} → {user_id, action, entity_name, log_created_at}
+}}}
 
 || log_id || user_id || action || entity_name || created_at ||
 || 1 || 1 || Направен е продукт Еспресо || PRODUCT || 2026-07-07 14:45 ||
 
-'''Lossless join test:'''
-
-R14.1 ∩ R15 = {log_id, user_id, action, entity_name, created_at}
-
-⇒ Декомпозицијата е lossless.
-
-R15.1 = R14.1 - {user_id, action, entity_name, created_at}
+ * '''ФЗ што важат:''' `{log_id} → {user_id, action, entity_name, log_created_at}`.
+ * '''К.К.:''' `{log_id}`.
+ * '''PK:''' `log_id`.
+ * '''NF:''' BCNF.
+ * '''Lossless join test:''' `R14.1 ∩ R15 = {log_id, user_id, action, entity_name, log_created_at}`. `{log_id} → {...}` ⇒ `(R14.1 ∩ R15) → R15`. ⇒ '''lossless'''.
+ * '''Preservation of FDs:''' `f18` зачувана. ⇒ '''preserved'''.
+ * '''Остаток:''' `R15.1 = R14.1 − {user_id, action, entity_name, log_created_at}`.
 
 === R16: APP_SETTINGS ===
 
-{id} → {restaurant_name, vat_rate, currency, printer_config}
+{{{
+{setting_id} → {restaurant_name, vat_rate, currency, printer_config}
+}}}
 
 || id || restaurant_name || vat_rate || currency || printer_config ||
 || 1 || Емпорио || 18.00 || ден || 2 ||
 
-'''Lossless join test:'''
-
-R15.1 ∩ R16 = {id, restaurant_name, vat_rate, currency, printer_config}
-
-⇒ Декомпозицијата е lossless.
-
-R16.1 = R15.1 - {restaurant_name, vat_rate, currency, printer_config}
+ * '''ФЗ што важат:''' `{setting_id} → {restaurant_name, vat_rate, currency, printer_config}`.
+ * '''К.К.:''' `{setting_id}`.
+ * '''PK:''' `setting_id` (во финалниот дизајн `id`).
+ * '''NF:''' BCNF.
+ * '''Lossless join test:''' `R15.1 ∩ R16 = {setting_id, restaurant_name, vat_rate, currency, printer_config}`. `{setting_id} → {...}` ⇒ `(R15.1 ∩ R16) → R16`. ⇒ '''lossless'''.
+ * '''Preservation of FDs:''' `f19` зачувана. ⇒ '''preserved'''.
+ * '''Остаток:''' `R16.1 = R15.1 − {restaurant_name, vat_rate, currency, printer_config}`.
 
 === R17: SETTINGS ===
 
-{id} → {restaurant_name, vat_percent, currency, printer_ip, printer_port}
+{{{
+{setting_id} → {restaurant_name, vat_percent, currency, printer_ip, printer_port}
+}}}
 
 || id || restaurant_name || vat_percent || currency || printer_ip || printer_port ||
 || 1 || EMPORIO CAFFE || 18 || ден || (null) || 9100 ||
 
-'''Lossless join test:'''
-
-R16.1 ∩ R17 = {id, restaurant_name, vat_percent, currency, printer_ip, printer_port}
-
-⇒ Декомпозицијата е lossless.
-
-R17.1 = R16.1 - {restaurant_name, vat_percent, currency, printer_ip, printer_port}
+ * '''ФЗ што важат:''' `{setting_id} → {restaurant_name, vat_percent, currency, printer_ip, printer_port}`.
+ * '''К.К.:''' `{setting_id}`.
+ * '''PK:''' `setting_id` (во финалниот дизајн `id`).
+ * '''NF:''' BCNF.
+ * '''Lossless join test:''' `R16.1 ∩ R17 = {setting_id, restaurant_name, vat_percent, currency, printer_ip, printer_port}`. `{setting_id} → {...}` ⇒ `(R16.1 ∩ R17) → R17`. ⇒ '''lossless'''.
+ * '''Preservation of FDs:''' зачувана. ⇒ '''preserved'''.
+ * '''Остаток:''' `R17.1 = R16.1 − {restaurant_name, vat_percent, currency, printer_ip, printer_port}`.
 
 === R18: ORDER_ITEM ===
 
-{order_id, item_number} → {product_id, quantity, unit_price, status}
+{{{
+{order_id, item_number} → {product_id, quantity, unit_price, item_status}
+}}}
 
 || order_id || item_number || product_id || quantity || unit_price || status ||
@@ -444 +617 @@
 || ... || ... || ... || ... || ... || ... ||
 
-'''Lossless join test:'''
-
-R17.1 ∩ R18 = {order_id, item_number, product_id, quantity, unit_price, status}
-
-⇒ Декомпозицијата е lossless.
+ * '''ФЗ што важат:''' `{order_id, item_number} → {product_id, quantity, unit_price, item_status}`.
+ * '''К.К.:''' `{order_id, item_number}` (единствен; ниту `order_id` сам, ниту `item_number` сам не е уникатен).
+ * '''PK:''' `(order_id, item_number)`.
+ * '''NF:''' BCNF.
+ * '''Lossless join test:''' `R17.1 ∩ R18 = {order_id, item_number, product_id, quantity, unit_price, item_status}`. `{order_id, item_number} → {...}` ⇒ `(R17.1 ∩ R18) → R18`. ⇒ '''lossless'''.
+ * '''Preservation of FDs:''' `f8` зачувана. ⇒ '''preserved'''.
 
 === R19: SHIFT_CLOSE ===
 
-{shift_id} → {closed_at, closed_by, total, order_count}
+{{{
+{shift_close_id} → {shift_id, closed_by, total, order_count, closed_at}
+}}}
 
 || shift_id || closed_at || closed_by || total || order_count ||
@@ -459 +635 @@
 || ... || ... || ... || ... || ... ||
 
-'''Lossless join test:'''
-
-R18.1 ∩ R19 = {shift_id, closed_at, closed_by, total, order_count}
-
-⇒ Декомпозицијата е lossless.
+ * '''ФЗ што важат:''' `{shift_close_id} → {shift_id, closed_by, total, order_count, closed_at}`.
+ * '''К.К.:''' `{shift_close_id}` (единствен; `shift_id` е уникатен само ако секој shift има најмногу едно затворање — што е случај, но формално `shift_close_id` е деклариран како PK; `shift_id` може да се смета за алтернативен К.К. доколку е уникатен).
+ * '''PK:''' `shift_close_id`.
+ * '''NF:''' BCNF.
+ * '''Lossless join test:''' `R18.1 ∩ R19 = {shift_close_id, shift_id, closed_by, total, order_count, closed_at}`. `{shift_close_id} → {...}` ⇒ `(R18.1 ∩ R19) → R19`. ⇒ '''lossless'''.
+ * '''Preservation of FDs:''' `f5` зачувана. ⇒ '''preserved'''.
 
 === R20: RECIPE_ITEM ===
 
+{{{
 {recipe_id, ingredient_id} → {quantity_needed}
+}}}
 
 (празна табела)
 
-'''Lossless join test:'''
-
-R19.1 ∩ R20 = {recipe_id, ingredient_id, quantity_needed}
-
-⇒ Декомпозицијата е lossless.
-
-== Трета нормална форма (3NF) ==
+ * '''ФЗ што важат:''' `{recipe_id, ingredient_id} → {quantity_needed}`.
+ * '''К.К.:''' `{recipe_id, ingredient_id}` (композитен; ниту еден дел сам не е уникатен).
+ * '''PK:''' `(recipe_id, ingredient_id)`.
+ * '''NF:''' BCNF.
+ * '''Lossless join test:''' `R19.1 ∩ R20 = {recipe_id, ingredient_id, quantity_needed}`. `{recipe_id, ingredient_id} → {quantity_needed}` ⇒ `(R19.1 ∩ R20) → R20`. ⇒ '''lossless'''.
+ * '''Preservation of FDs:''' `f15` зачувана. ⇒ '''preserved'''.
+
+== 3NF декомпозиција ==
 
 Форма која ги следи овие правила:
 
- * Веќе е во втора нормална форма
- * Се отстрануваат транзитивните функционални зависности
+ * Веќе е во втора нормална форма.
+ * Се отстрануваат транзитивните функционални зависности.
 
 === Проверка за транзитивни зависности ===
@@ -490 +670 @@
 Единствена потенцијална транзитивна зависност:
 
- * {recipe_id} → {product_id} → {category_id} (но recipe не содржи category_id, па нема транзитивност)
+ * `{recipe_id} → {product_id} → {category_id}` (но RECIPE не содржи `category_id`, па нема транзитивност)
 
 Сите табели се веќе во 3NF.
 
+'''Preservation of FDs (глобална проверка):''' Сите ФЗ `f1`–`f19` се зачувани во поединечните табели. ⇒ `(F1 ∪ ... ∪ F20)⁺ = F⁺`.
+
+'''Lossless join (глобална проверка):''' Секоја декомпозиција во 2NF беше lossless. Со композиција на lossless декомпозиции, финалната декомпозиција е lossless.
+
 == BCNF (Boyce-Codd Normal Form) ==
 
 Форма која ги следи овие правила:
 
- * Веќе е во трета нормална форма
- * За секоја функционална зависност X → Y, X мора да биде супер-клуч
+ * Веќе е во трета нормална форма.
+ * За секоја функционална зависност `X → Y`, `X` мора да биде супер-клуч.
 
 === Проверка за BCNF ===
 
-Сите функционални зависности во сите табели имаат X кој е примарен клуч (или композитен клуч), што значи X е супер-клуч.
+Сите функционални зависности во сите табели имаат `X` кој е примарен клуч (или композитен клуч), што значи `X` е супер-клуч.
 
 Сите табели се веќе во BCNF.
@@ -513 +697 @@
  * '''SESSION''' (token PK, user_id FK, created_at, expires_at)
  * '''SHIFT''' (shift_id PK, user_id FK, start_time, end_time)
- * '''SHIFT_CLOSE''' (shift_id PK, closed_by FK, total, order_count, closed_at)
+ * '''SHIFT_CLOSE''' (shift_close_id PK, shift_id FK, closed_by FK, total, order_count, closed_at)
  * '''RESTAURANT_TABLE''' (table_id PK, table_number, capacity, status)
  * '''CATEGORY''' (category_id PK, name, description, active)
@@ -536 +720 @@
 === Разлики помеѓу нормализираниот дизајн и дизајнот од фаза P2 ===
 
-Нормализираниот дизајн **е идентичен** со дизајнот од фаза P2. Ова значи дека дизајнот од P2 беше веќе правилно нормализиран.
+Нормализираниот дизајн '''е идентичен''' со дизајнот од фаза P2. Ова значи дека дизајнот од P2 беше веќе правилно нормализиран.
 
 Сите табели се во BCNF, сите функционални зависности се запазени, и сите декомпозиции се lossless.
 
-За следните фази на проектот **ќе се користи истиот дизајн** од P2, бидејќи е веќе целосно нормализиран.
+За следните фази на проектот '''ќе се користи истиот дизајн''' од P2, бидејќи е веќе целосно нормализиран.