= Формална анализа и доказ за нормализација на Stock Master =

== 1. Дефиниција на универзалната релација ==

Тргнуваме од една единствена универзална релација која ги содржи сите атрибути од доменот.

Нека '''R''' претставува универзалната шема на релацијата. Множеството на атрибути '''U''' во '''R''' е дефинирано како:

{{{
U(userId, user_username, user_password, user_full_name, user_email, user_role, user_is_active,
  customerId, customer_name, customer_email, customer_phone, customer_address,
  productId, product_name, product_description, product_sku, product_unit_price, product_reorder_level,
  categoryId, category_name, category_description,
  supplierId, supplier_name, supplier_contact_person, supplier_phone, supplier_email, supplier_address,
  warehouseId, warehouse_name, warehouse_location, warehouse_capacity,
  saleId, sale_date_time, sale_total_amount,
  poId, po_order_date, po_expected_delivery_date, po_status,
  saleitem_quantity, saleitem_unit_price_at_sale,
  poitem_quantity, poitem_unit_cost,
  stock_quantity_on_hand, stock_last_updated)
}}}

----

== 2. Функционални зависности ==

Ги идентификуваме сите функционални зависности што важат во универзалната релација:

'''F = {'''
 * '''FD1:''' userId → user_username, user_password, user_full_name, user_email, user_role, user_is_active
 * '''FD2:''' user_username → userId, user_password, user_full_name, user_email, user_role, user_is_active
 * '''FD3:''' user_email → userId, user_username, user_password, user_full_name, user_role, user_is_active
 * '''FD4:''' customerId → customer_name, customer_email, customer_phone, customer_address
 * '''FD5:''' productId → product_name, product_description, product_sku, product_unit_price, product_reorder_level, categoryId, supplierId
 * '''FD6:''' product_sku → productId, product_name, product_description, product_unit_price, product_reorder_level, categoryId, supplierId
 * '''FD7:''' categoryId → category_name, category_description
 * '''FD8:''' supplierId → supplier_name, supplier_contact_person, supplier_phone, supplier_email, supplier_address
 * '''FD9:''' warehouseId → warehouse_name, warehouse_location, warehouse_capacity
 * '''FD10:''' saleId → sale_date_time, sale_total_amount, userId, customerId, warehouseId
 * '''FD11:''' poId → po_order_date, po_expected_delivery_date, po_status, supplierId, warehouseId
 * '''FD12:''' {saleId, productId} → saleitem_quantity, saleitem_unit_price_at_sale
 * '''FD13:''' {poId, productId} → poitem_quantity, poitem_unit_cost
 * '''FD14:''' {warehouseId, productId} → stock_quantity_on_hand, stock_last_updated
'''}'''

----

== 3. Кандидат клучеви и примарен клуч ==

=== 3.1 Определување на кандидат клучеви ===

За да најдеме кандидат клуч, треба да најдеме минимално множество атрибути чиј затворач ги содржи сите атрибути на релацијата.

=== 3.2 Класификација на атрибути (Лева / Десна страна) ===

||= Атрибут =||= Лева страна =||= Десна страна =||= Класификација =||
|| userId || ✓ (FD1) || ✓ (FD2, FD3, FD10) || и лево и десно ||
|| user_username || ✓ (FD2) || ✓ (FD1, FD3) || и лево и десно ||
|| user_email || ✓ (FD3) || ✓ (FD1, FD2) || и лево и десно ||
|| user_password || ✗ || ✓ (FD1, FD2, FD3) || Само десно ||
|| user_full_name || ✗ || ✓ (FD1, FD2, FD3) || Само десно ||
|| user_role || ✗ || ✓ (FD1, FD2, FD3) || Само десно ||
|| user_is_active || ✗ || ✓ (FD1, FD2, FD3) || Само десно ||
|| customerId || ✓ (FD4) || ✓ (FD10) || и лево и десно ||
|| customer_name || ✗ || ✓ (FD4) || Само десно ||
|| customer_email || ✗ || ✓ (FD4) || Само десно ||
|| customer_phone || ✗ || ✓ (FD4) || Само десно ||
|| customer_address || ✗ || ✓ (FD4) || Само десно ||
|| productId || ✓ (FD5) || ✓ (FD6) || и лево и десно ||
|| product_sku || ✓ (FD6) || ✓ (FD5) || и лево и десно ||
|| product_name || ✗ || ✓ (FD5, FD6) || Само десно ||
|| product_description || ✗ || ✓ (FD5, FD6) || Само десно ||
|| product_unit_price || ✗ || ✓ (FD5, FD6) || Само десно ||
|| product_reorder_level || ✗ || ✓ (FD5, FD6) || Само десно ||
|| categoryId || ✓ (FD7) || ✓ (FD5, FD6) || и лево и десно ||
|| category_name || ✗ || ✓ (FD7) || Само десно ||
|| category_description || ✗ || ✓ (FD7) || Само десно ||
|| supplierId || ✓ (FD8) || ✓ (FD5, FD6, FD11) || и лево и десно ||
|| supplier_name || ✗ || ✓ (FD8) || Само десно ||
|| supplier_contact_person || ✗ || ✓ (FD8) || Само десно ||
|| supplier_phone || ✗ || ✓ (FD8) || Само десно ||
|| supplier_email || ✗ || ✓ (FD8) || Само десно ||
|| supplier_address || ✗ || ✓ (FD8) || Само десно ||
|| warehouseId || ✓ (FD9) || ✓ (FD10, FD11, FD14) || и лево и десно ||
|| warehouse_name || ✗ || ✓ (FD9) || Само десно ||
|| warehouse_location || ✗ || ✓ (FD9) || Само десно ||
|| warehouse_capacity || ✗ || ✓ (FD9) || Само десно ||
|| '''saleId''' || ✓ (FD10, FD12) || ✗ || '''Само лево''' ||
|| sale_date_time || ✗ || ✓ (FD10) || Само десно ||
|| sale_total_amount || ✗ || ✓ (FD10) || Само десно ||
|| '''poId''' || ✓ (FD11, FD13) || ✗ || '''Само лево''' ||
|| po_order_date || ✗ || ✓ (FD11) || Само десно ||
|| po_expected_delivery_date || ✗ || ✓ (FD11) || Само десно ||
|| po_status || ✗ || ✓ (FD11) || Само десно ||
|| saleitem_quantity || ✗ || ✓ (FD12) || Само десно ||
|| saleitem_unit_price_at_sale || ✗ || ✓ (FD12) || Само десно ||
|| poitem_quantity || ✗ || ✓ (FD13) || Само десно ||
|| poitem_unit_cost || ✗ || ✓ (FD13) || Само десно ||
|| stock_quantity_on_hand || ✗ || ✓ (FD14) || Само десно ||
|| stock_last_updated || ✗ || ✓ (FD14) || Само десно ||




=== 3.3 Атрибути кои се појавуваат САМО на лева страна ===

 * '''saleId''' - мора да биде дел од секој кандидат клуч
 * '''poId''' - мора да биде дел од секој кандидат клуч

=== 3.4 Пресметка на затворач ===

'''Чекор 1:''' Започнуваме со {saleId, poId} и пресметуваме затворач:

{{{
{saleId, poId}⁺:
- Од FD10 (saleId →): добиваме sale_date_time, sale_total_amount, userId, customerId, warehouseId
- Од FD11 (poId →): добиваме po_order_date, po_expected_delivery_date, po_status, supplierId, warehouseId
- Од FD1 (userId →): добиваме user_username, user_password, user_full_name, user_email, user_role, user_is_active
- Од FD4 (customerId →): добиваме customer_name, customer_email, customer_phone, customer_address
- Од FD8 (supplierId →): добиваме supplier_name, supplier_contact_person, supplier_phone, supplier_email, supplier_address
- Од FD9 (warehouseId →): добиваме warehouse_name, warehouse_location, warehouse_capacity
}}}

'''{saleId, poId}⁺ ≠ U'''

'''Недостасуваат:''' productId, product_name, product_description, product_sku, product_unit_price, product_reorder_level, categoryId, category_name, category_description, saleitem_quantity, saleitem_unit_price_at_sale, poitem_quantity, poitem_unit_cost, stock_quantity_on_hand, stock_last_updated

'''Чекор 2:''' Додаваме productId:

{{{
{saleId, poId, productId}⁺:
- Сè од претходно, плус:
- Од FD5 (productId →): добиваме product_name, product_description, product_sku, product_unit_price, product_reorder_level, categoryId, supplierId
- Од FD7 (categoryId →): добиваме category_name, category_description
- Од FD12 ({saleId, productId} →): добиваме saleitem_quantity, saleitem_unit_price_at_sale
- Од FD13 ({poId, productId} →): добиваме poitem_quantity, poitem_unit_cost
- Од FD14 ({warehouseId, productId} →): добиваме stock_quantity_on_hand, stock_last_updated
}}}

'''{saleId, poId, productId}⁺ = U''' (ги содржи сите атрибути) ✓

=== 3.5 Проверка за минималност ===

||= Подмножество =||= Затворач =||= = U? =||
|| {saleId, poId}⁺ || Недостасуваат атрибути поврзани со productId || ✗ НЕ ||
|| {saleId, productId}⁺ || Недостасуваат атрибути од poId: po_order_date, po_expected_delivery_date, po_status, poitem_quantity, poitem_unit_cost || ✗ НЕ ||
|| {poId, productId}⁺ || Недостасуваат атрибути од saleId: sale_date_time, sale_total_amount, saleitem_quantity, saleitem_unit_price_at_sale, userId→атрибути, customerId→атрибути || ✗ НЕ ||

'''Заклучок:''' {saleId, poId, productId} е минимален и е кандидат клуч.

=== 3.6 Други кандидат клучеви ===

Бидејќи постојат еквиваленции (FD5 и FD6 покажуваат дека productId ↔ product_sku), можеме да го замениме productId со product_sku:

'''Кандидат клуч 2:''' {saleId, poId, product_sku}

{{{
Проверка: {saleId, poId, product_sku}⁺:
- Од FD6 (product_sku →): добиваме productId и сите атрибути на продукт
- Понатаму идентично како горе

{saleId, poId, product_sku}⁺ = U ✓
}}}

=== 3.7 Избор на примарен клуч ===

||= Кандидат клуч =||= Број на атрибути =||= Тип на атрибути =||
|| {saleId, poId, productId} || 3 || Сурогат клучеви (стабилни) ||
|| {saleId, poId, product_sku} || 3 || Мешано (saleId, poId сурогат; sku природен) ||

'''Избран примарен клуч: {saleId, poId, productId}'''

'''Образложение:'''
 1. Сите три атрибути се сурогат клучеви кои не се менуваат со тек на време
 2. productId е понумерички и поефикасен за индексирање од product_sku (кој е VARCHAR)
 3. Сурогат клучевите обезбедуваат стабилност - ако се промени SKU кодот на продукт, примарниот клуч останува непроменет

----

== 4. 1NF Декомпозиција ==

=== 4.1 Проверка за 1NF ===

Универзалната релација U е во 1NF бидејќи:
 * Сите атрибути се атомски (нема повеќевредносни атрибути)
 * Постои примарен клуч: {saleId, poId, productId}
 * Нема повторувачки групи

'''Заклучок:''' U е во 1NF. ✓

=== 4.2 Проверка која FD ја нарушува 2NF ===

За да биде во 2NF, секој не-клучен атрибут мора целосно да зависи од примарниот клуч (нема парцијални зависности).

Примарен клуч: '''{saleId, poId, productId}'''

'''Парцијални зависности (атрибути кои зависат од дел од клучот):'''

||= FD =||= Детерминант =||= Дел од клуч? =||= Парцијална зависност? =||
|| FD1: userId → user_* || userId || НЕ (транзитивно преку saleId) || Не директно ||
|| FD5: productId → product_*, categoryId, supplierId || productId || ДА (productId е дел од клучот) || '''ДА''' ||
|| FD10: saleId → sale_*, userId, customerId, warehouseId || saleId || ДА (saleId е дел од клучот) || '''ДА''' ||
|| FD11: poId → po_*, supplierId, warehouseId || poId || ДА (poId е дел од клучот) || '''ДА''' ||
|| FD12: {saleId, productId} → saleitem_* || {saleId, productId} || ДА (подмножество на клучот) || '''ДА''' ||
|| FD13: {poId, productId} → poitem_* || {poId, productId} || ДА (подмножество на клучот) || '''ДА''' ||
|| FD14: {warehouseId, productId} → stock_* || {warehouseId, productId} || warehouseId не е во клучот директно || Посебен случај* ||

*Забелешка за FD14: warehouseId се добива транзитивно од saleId (FD10) и од poId (FD11), но {warehouseId, productId} не е подмножество на примарниот клуч.

'''Идентификувани парцијални зависности што ја нарушуваат 2NF:'''

 1. '''FD5:''' productId → product_name, product_description, product_sku, product_unit_price, product_reorder_level, categoryId, supplierId
 2. '''FD10:''' saleId → sale_date_time, sale_total_amount, userId, customerId, warehouseId
 3. '''FD11:''' poId → po_order_date, po_expected_delivery_date, po_status, supplierId, warehouseId
 4. '''FD12:''' {saleId, productId} → saleitem_quantity, saleitem_unit_price_at_sale
 5. '''FD13:''' {poId, productId} → poitem_quantity, poitem_unit_cost

----

== 5. 2NF Декомпозиција ==

=== Чекор 5.1: Декомпозиција по FD5 (productId → ...) ===

'''Нарушува 2NF:''' productId е дел од примарниот клуч, а product_name, product_description, итн. зависат само од productId.

'''Декомпозиција:'''

{{{
R1(productId, product_name, product_description, product_sku, product_unit_price, product_reorder_level, categoryId, supplierId)
   PK: productId

U1 = U - {product_name, product_description, product_sku, product_unit_price, product_reorder_level}

U1(saleId, poId, productId, userId, user_username, user_password, user_full_name, user_email, user_role, user_is_active, customerId, customer_name, customer_email, customer_phone, customer_address, categoryId, category_name, category_description, supplierId, supplier_name, supplier_contact_person, supplier_phone, supplier_email, supplier_address, warehouseId, warehouse_name, warehouse_location, warehouse_capacity, sale_date_time, sale_total_amount, po_order_date, po_expected_delivery_date, po_status, saleitem_quantity, saleitem_unit_price_at_sale, poitem_quantity, poitem_unit_cost, stock_quantity_on_hand, stock_last_updated)
}}}

'''Проверка за lossless join:'''
 * R1 ∩ U1 = {productId, categoryId, supplierId}
 * productId → R1 (FD5)
 * Декомпозицијата е lossless ✓

'''Проверка за зачувување на FD:''' FD5 е зачувана во R1 ✓

=== Чекор 5.2: Декомпозиција по FD10 (saleId → ...) ===

'''Нарушува 2NF:''' saleId е дел од примарниот клуч на U1.

'''Декомпозиција:'''

{{{
R2(saleId, sale_date_time, sale_total_amount, userId, customerId, warehouseId)
   PK: saleId

U2 = U1 - {sale_date_time, sale_total_amount}

U2(saleId, poId, productId, userId, user_username, user_password, user_full_name, user_email, user_role, user_is_active, customerId, customer_name, customer_email, customer_phone, customer_address, categoryId, category_name, category_description, supplierId, supplier_name, supplier_contact_person, supplier_phone, supplier_email, supplier_address, warehouseId, warehouse_name, warehouse_location, warehouse_capacity, po_order_date, po_expected_delivery_date, po_status, saleitem_quantity, saleitem_unit_price_at_sale, poitem_quantity, poitem_unit_cost, stock_quantity_on_hand, stock_last_updated)
}}}

'''Проверка за lossless join:'''
 * R2 ∩ U2 = {saleId, userId, customerId, warehouseId}
 * saleId → R2 (FD10)
 * Декомпозицијата е lossless ✓

=== Чекор 5.3: Декомпозиција по FD11 (poId → ...) ===

'''Нарушува 2NF:''' poId е дел од примарниот клуч на U2.

'''Декомпозиција:'''

{{{
R3(poId, po_order_date, po_expected_delivery_date, po_status, supplierId, warehouseId)
   PK: poId

U3 = U2 - {po_order_date, po_expected_delivery_date, po_status}

U3(saleId, poId, productId, userId, user_username, user_password, user_full_name, user_email, user_role, user_is_active, customerId, customer_name, customer_email, customer_phone, customer_address, categoryId, category_name, category_description, supplierId, supplier_name, supplier_contact_person, supplier_phone, supplier_email, supplier_address, warehouseId, warehouse_name, warehouse_location, warehouse_capacity, saleitem_quantity, saleitem_unit_price_at_sale, poitem_quantity, poitem_unit_cost, stock_quantity_on_hand, stock_last_updated)
}}}

'''Проверка за lossless join:'''
 * R3 ∩ U3 = {poId, supplierId, warehouseId}
 * poId → R3 (FD11)
 * Декомпозицијата е lossless ✓

=== Чекор 5.4: Декомпозиција по FD12 ({saleId, productId} → ...) ===

'''Нарушува 2NF:''' {saleId, productId} е подмножество на примарниот клуч.

'''Декомпозиција:'''

{{{
R4(saleId, productId, saleitem_quantity, saleitem_unit_price_at_sale)
   PK: {saleId, productId}

U4 = U3 - {saleitem_quantity, saleitem_unit_price_at_sale}

U4(saleId, poId, productId, userId, user_username, user_password, user_full_name, user_email, user_role, user_is_active, customerId, customer_name, customer_email, customer_phone, customer_address, categoryId, category_name, category_description, supplierId, supplier_name, supplier_contact_person, supplier_phone, supplier_email, supplier_address, warehouseId, warehouse_name, warehouse_location, warehouse_capacity, poitem_quantity, poitem_unit_cost, stock_quantity_on_hand, stock_last_updated)
}}}

'''Проверка за lossless join:'''
 * R4 ∩ U4 = {saleId, productId}
 * {saleId, productId} → R4 (FD12)
 * Декомпозицијата е lossless ✓

=== Чекор 5.5: Декомпозиција по FD13 ({poId, productId} → ...) ===

'''Нарушува 2NF:''' {poId, productId} е подмножество на примарниот клуч.

'''Декомпозиција:'''

{{{
R5(poId, productId, poitem_quantity, poitem_unit_cost)
   PK: {poId, productId}

U5 = U4 - {poitem_quantity, poitem_unit_cost}

U5(saleId, poId, productId, userId, user_username, user_password, user_full_name, user_email, user_role, user_is_active, customerId, customer_name, customer_email, customer_phone, customer_address, categoryId, category_name, category_description, supplierId, supplier_name, supplier_contact_person, supplier_phone, supplier_email, supplier_address, warehouseId, warehouse_name, warehouse_location, warehouse_capacity, stock_quantity_on_hand, stock_last_updated)
}}}

'''Проверка за lossless join:'''
 * R5 ∩ U5 = {poId, productId}
 * {poId, productId} → R5 (FD13)
 * Декомпозицијата е lossless ✓

=== Состојба после 2NF декомпозиција ===

{{{
R1(productId, product_name, product_description, product_sku, product_unit_price, product_reorder_level, categoryId, supplierId)
   PK: productId

R2(saleId, sale_date_time, sale_total_amount, userId, customerId, warehouseId)
   PK: saleId

R3(poId, po_order_date, po_expected_delivery_date, po_status, supplierId, warehouseId)
   PK: poId

R4(saleId, productId, saleitem_quantity, saleitem_unit_price_at_sale)
   PK: {saleId, productId}

R5(poId, productId, poitem_quantity, poitem_unit_cost)
   PK: {poId, productId}

U5(saleId, poId, productId, userId, user_username, user_password, user_full_name, user_email, user_role, user_is_active,
   customerId, customer_name, customer_email, customer_phone, customer_address,
   categoryId, category_name, category_description,
   supplierId, supplier_name, supplier_contact_person, supplier_phone, supplier_email, supplier_address,
   warehouseId, warehouse_name, warehouse_location, warehouse_capacity,
   stock_quantity_on_hand, stock_last_updated)
   PK: {saleId, poId, productId}
}}}

----

== 6. 3NF Декомпозиција ==

=== Проверка за транзитивни зависности во секоја релација ===

==== R1(productId, product_name, product_description, product_sku, product_unit_price, product_reorder_level, categoryId, supplierId) ====

'''Транзитивни зависности:'''
 * productId → categoryId → category_name, category_description?
   * category_name и category_description НЕ се во R1, па нема транзитивна зависност во оваа релација.
 * productId → supplierId → supplier_*?
   * supplier_* атрибутите НЕ се во R1.

'''Заклучок:''' R1 е во 3NF ✓

==== R2(saleId, sale_date_time, sale_total_amount, userId, customerId, warehouseId) ====

'''Транзитивни зависности:'''
 * saleId → userId → user_*?
   * user_* атрибутите НЕ се во R2.
 * saleId → customerId → customer_*?
   * customer_* атрибутите НЕ се во R2.
 * saleId → warehouseId → warehouse_*?
   * warehouse_* атрибутите НЕ се во R2.

'''Заклучок:''' R2 е во 3NF ✓

==== R3(poId, po_order_date, po_expected_delivery_date, po_status, supplierId, warehouseId) ====

'''Транзитивни зависности:'''
 * Слично како R2, supplier_* и warehouse_* не се во R3.

'''Заклучок:''' R3 е во 3NF ✓

==== R4(saleId, productId, saleitem_quantity, saleitem_unit_price_at_sale) ====

'''Транзитивни зависности:'''
 * Нема не-клучни атрибути кои одредуваат други не-клучни атрибути.

'''Заклучок:''' R4 е во 3NF ✓

==== R5(poId, productId, poitem_quantity, poitem_unit_cost) ====

'''Заклучок:''' R5 е во 3NF ✓

==== U5 - Проверка за транзитивни зависности ====

Примарен клуч на U5: '''{saleId, poId, productId}'''

'''Транзитивни зависности во U5:'''

 1. '''FD1 транзитивно:''' {saleId, poId, productId} → userId (преку R2/saleId) → user_username, user_password, user_full_name, user_email, user_role, user_is_active
    * userId не е клуч на U5, а user_* зависат од userId
    * '''НАРУШУВА 3NF'''

 2. '''FD4 транзитивно:''' {saleId, poId, productId} → customerId (преку R2/saleId) → customer_name, customer_email, customer_phone, customer_address
    * '''НАРУШУВА 3NF'''

 3. '''FD7 транзитивно:''' {saleId, poId, productId} → categoryId (преку R1/productId) → category_name, category_description
    * '''НАРУШУВА 3NF'''

 4. '''FD8 транзитивно:''' {saleId, poId, productId} → supplierId → supplier_name, supplier_contact_person, supplier_phone, supplier_email, supplier_address
    * '''НАРУШУВА 3NF'''

 5. '''FD9 транзитивно:''' {saleId, poId, productId} → warehouseId → warehouse_name, warehouse_location, warehouse_capacity
    * '''НАРУШУВА 3NF'''

 6. '''FD14:''' {warehouseId, productId} → stock_quantity_on_hand, stock_last_updated
    * warehouseId се добива транзитивно, а {warehouseId, productId} не е клуч на U5
    * '''НАРУШУВА 3NF'''

=== Чекор 6.1: Декомпозиција по FD1 (userId → user_*) ===

{{{
R6(userId, user_username, user_password, user_full_name, user_email, user_role, user_is_active)
   PK: userId

U6 = U5 - {user_username, user_password, user_full_name, user_email, user_role, user_is_active}
}}}

'''Проверка за lossless join:'''
 * R6 ∩ U6 = {userId}
 * userId → R6 (FD1)
 * Lossless ✓

=== Чекор 6.2: Декомпозиција по FD4 (customerId → customer_*) ===

{{{
R7(customerId, customer_name, customer_email, customer_phone, customer_address)
   PK: customerId

U7 = U6 - {customer_name, customer_email, customer_phone, customer_address}
}}}

'''Проверка за lossless join:'''
 * R7 ∩ U7 = {customerId}
 * customerId → R7 (FD4)
 * Lossless ✓

=== Чекор 6.3: Декомпозиција по FD7 (categoryId → category_*) ===

{{{
R8(categoryId, category_name, category_description)
   PK: categoryId

U8 = U7 - {category_name, category_description}
}}}

'''Проверка за lossless join:'''
 * R8 ∩ U8 = {categoryId}
 * categoryId → R8 (FD7)
 * Lossless ✓

=== Чекор 6.4: Декомпозиција по FD8 (supplierId → supplier_*) ===

{{{
R9(supplierId, supplier_name, supplier_contact_person, supplier_phone, supplier_email, supplier_address)
   PK: supplierId

U9 = U8 - {supplier_name, supplier_contact_person, supplier_phone, supplier_email, supplier_address}
}}}

'''Проверка за lossless join:'''
 * R9 ∩ U9 = {supplierId}
 * supplierId → R9 (FD8)
 * Lossless ✓

=== Чекор 6.5: Декомпозиција по FD9 (warehouseId → warehouse_*) ===

{{{
R10(warehouseId, warehouse_name, warehouse_location, warehouse_capacity)
   PK: warehouseId

U10 = U9 - {warehouse_name, warehouse_location, warehouse_capacity}

U10(saleId, poId, productId, userId, customerId, categoryId, supplierId, warehouseId, stock_quantity_on_hand, stock_last_updated)
}}}

'''Проверка за lossless join:'''
 * R10 ∩ U10 = {warehouseId}
 * warehouseId → R10 (FD9)
 * Lossless ✓

=== Чекор 6.6: Декомпозиција по FD14 ({warehouseId, productId} → stock_*) ===

{{{
R11(warehouseId, productId, stock_quantity_on_hand, stock_last_updated)
   PK: {warehouseId, productId}

U11 = U10 - {stock_quantity_on_hand, stock_last_updated}

U11(saleId, poId, productId, userId, customerId, categoryId, supplierId, warehouseId)
}}}

'''Проверка за lossless join:'''
 * R11 ∩ U11 = {warehouseId, productId}
 * {warehouseId, productId} → R11 (FD14)
 * Lossless ✓

=== Анализа на U11 ===

{{{
U11(saleId, poId, productId, userId, customerId, categoryId, supplierId, warehouseId)
   PK: {saleId, poId, productId}
}}}

Атрибутите userId, customerId, warehouseId се веќе дел од R2 (Sale).
Атрибутите categoryId, supplierId се веќе дел од R1 (Product).

U11 претставува врска меѓу продажби (saleId), нарачки (poId) и продукти (productId).

'''Прашање:''' Дали оваа релација има семантичка смисла?

Во реалноста:
 * Една продажба (saleId) е независна од една нарачка (poId)
 * Нивната врска е само преку productId и warehouseId

'''U11 може да се декомпонира понатаму''', бидејќи атрибутите userId, customerId, warehouseId зависат само од saleId (FD10), а supplierId зависи само од poId или productId.

Но бидејќи овие атрибути се веќе издвоени во R2 и R1, U11 станува редундантна и може да се отстрани бидејќи информацијата е веќе зачувана во другите релации.

=== Состојба после 3NF декомпозиција ===

||= Релација =||= Атрибути =||= Примарен клуч =||
|| '''R1''' (Product) || productId, product_name, product_description, product_sku, product_unit_price, product_reorder_level, categoryId, supplierId || productId ||
|| '''R2''' (Sale) || saleId, sale_date_time, sale_total_amount, userId, customerId, warehouseId || saleId ||
|| '''R3''' (!PurchaseOrder) || poId, po_order_date, po_expected_delivery_date, po_status, supplierId, warehouseId || poId ||
|| '''R4''' (!SaleItem) || saleId, productId, saleitem_quantity, saleitem_unit_price_at_sale || {saleId, productId} ||
|| '''R5''' (!PurchaseOrderItem) || poId, productId, poitem_quantity, poitem_unit_cost || {poId, productId} ||
|| '''R6''' (User) || userId, user_username, user_password, user_full_name, user_email, user_role, user_is_active || userId ||
|| '''R7''' (Customer) || customerId, customer_name, customer_email, customer_phone, customer_address || customerId ||
|| '''R8''' (Category) || categoryId, category_name, category_description || categoryId ||
|| '''R9''' (Supplier) || supplierId, supplier_name, supplier_contact_person, supplier_phone, supplier_email, supplier_address || supplierId ||
|| '''R10''' (Warehouse) || warehouseId, warehouse_name, warehouse_location, warehouse_capacity || warehouseId ||
|| '''R11''' (!WarehouseStock) || warehouseId, productId, stock_quantity_on_hand, stock_last_updated || {warehouseId, productId} ||

----

== 7. BCNF Декомпозиција ==

=== Проверка за BCNF ===

За секоја релација проверуваме: за секоја нетривијална FD X → Y, дали X е суперклуч?

==== R1 (Product) ====

||= FD =||= Детерминант =||= Суперклуч? =||
|| productId → сите || productId || ✓ ДА ||
|| product_sku → сите (FD6) || product_sku || ✓ ДА (кандидат клуч) ||

'''R1 е во BCNF''' ✓

==== R2 (Sale) ====

||= FD =||= Детерминант =||= Суперклуч? =||
|| saleId → сите || saleId || ✓ ДА ||

'''R2 е во BCNF''' ✓

==== R3 (!PurchaseOrder) ====

||= FD =||= Детерминант =||= Суперклуч? =||
|| poId → сите || poId || ✓ ДА ||

'''R3 е во BCNF''' ✓

==== R4 (!SaleItem) ====

||= FD =||= Детерминант =||= Суперклуч? =||
|| {saleId, productId} → сите || {saleId, productId} || ✓ ДА ||

'''R4 е во BCNF''' ✓

==== R5 (!PurchaseOrderItem) ====

||= FD =||= Детерминант =||= Суперклуч? =||
|| {poId, productId} → сите || {poId, productId} || ✓ ДА ||

'''R5 е во BCNF''' ✓

==== R6 (User) ====

||= FD =||= Детерминант =||= Суперклуч? =||
|| userId → сите || userId || ✓ ДА ||
|| user_username → сите (FD2) || user_username || ✓ ДА (кандидат клуч) ||
|| user_email → сите (FD3) || user_email || ✓ ДА (кандидат клуч) ||

'''R6 е во BCNF''' ✓

==== R7 (Customer) ====

||= FD =||= Детерминант =||= Суперклуч? =||
|| customerId → сите || customerId || ✓ ДА ||

'''R7 е во BCNF''' ✓

==== R8 (Category) ====

||= FD =||= Детерминант =||= Суперклуч? =||
|| categoryId → сите || categoryId || ✓ ДА ||

'''R8 е во BCNF''' ✓

==== R9 (Supplier) ====

||= FD =||= Детерминант =||= Суперклуч? =||
|| supplierId → сите || supplierId || ✓ ДА ||

'''R9 е во BCNF''' ✓

==== R10 (Warehouse) ====

||= FD =||= Детерминант =||= Суперклуч? =||
|| warehouseId → сите || warehouseId || ✓ ДА ||

'''R10 е во BCNF''' ✓

==== R11 (!WarehouseStock) ====

||= FD =||= Детерминант =||= Суперклуч? =||
|| {warehouseId, productId} → сите || {warehouseId, productId} || ✓ ДА ||

'''R11 е во BCNF''' ✓

'''Заклучок: Сите релации се во BCNF.'''

----

== 8. Финален резултат и дискусија ==

=== 8.1 Финални релации ===

{{{
User(userId, username, password, full_name, email, role, is_active)
  - Примарен клуч: userId
  - Кандидат клучеви: userId, username, email
  - Надворешни клучеви: -

Customer(customerId, name, email, phone, address)
  - Примарен клуч: customerId
  - Кандидат клучеви: customerId
  - Надворешни клучеви: -

Category(categoryId, name, description)
  - Примарен клуч: categoryId
  - Кандидат клучеви: categoryId
  - Надворешни клучеви: -

Supplier(supplierId, name, contact_person, phone, email, address)
  - Примарен клуч: supplierId
  - Кандидат клучеви: supplierId
  - Надворешни клучеви: -

Warehouse(warehouseId, name, location, capacity)
  - Примарен клуч: warehouseId
  - Кандидат клучеви: warehouseId
  - Надворешни клучеви: -

Product(productId, name, description, sku, unit_price, reorder_level, categoryId, supplierId)
  - Примарен клуч: productId
  - Кандидат клучеви: productId, sku
  - Надворешни клучеви: categoryId → Category, supplierId → Supplier

Sale(saleId, date_time, total_amount, userId, customerId, warehouseId)
  - Примарен клуч: saleId
  - Кандидат клучеви: saleId
  - Надворешни клучеви: userId → User, customerId → Customer, warehouseId → Warehouse

PurchaseOrder(poId, order_date, expected_delivery_date, status, supplierId, warehouseId)
  - Примарен клуч: poId
  - Кандидат клучеви: poId
  - Надворешни клучеви: supplierId → Supplier, warehouseId → Warehouse

SaleItem(saleId, productId, quantity, unit_price_at_sale)
  - Примарен клуч: {saleId, productId}
  - Кандидат клучеви: {saleId, productId}
  - Надворешни клучеви: saleId → Sale, productId → Product

PurchaseOrderItem(poId, productId, quantity, unit_cost)
  - Примарен клуч: {poId, productId}
  - Кандидат клучеви: {poId, productId}
  - Надворешни клучеви: poId → PurchaseOrder, productId → Product

WarehouseStock(warehouseId, productId, quantity_on_hand, last_updated)
  - Примарен клуч: {warehouseId, productId}
  - Кандидат клучеви: {warehouseId, productId}
  - Надворешни клучеви: warehouseId → Warehouse, productId → Product
}}}

=== 8.2 Дискусија на разликите од моделот во Фаза P2 ===

Преку процесот на нормализација, тргнувајќи од една универзална релација, дојдовме до '''истите 11 релации''' како во концептуалниот модел од Фаза P2. Ова покажува дека:

 1. '''Концептуалниот модел беше правилно дизајниран''' - ентитетите и нивните атрибути беа логички групирани.

 2. '''Процесот на нормализација го потврди дизајнот''' - секоја декомпозиција базирана на функционалните зависности резултираше со релација која одговара на ентитет од оригиналниот модел.

 3. '''Клучот на универзалната релација {saleId, poId, productId}''' беше идентификуван преку анализа на функционалните зависности и класификација лева/десна страна.

 4. '''Сите релации се во BCNF''' - нема функционална зависност каде детерминантот не е суперклуч.

 5. '''Декомпозицијата е lossless''' - оригиналната информација може да се реконструира.

 6. '''Сите функционални зависности се зачувани''' - секоја FD е зачувана во барем една од финалните релации.